应用洛必达法则求极限中的常见错误及分析

陈作清

【摘要】本文全面阐述了应用洛必达法则求极限时的常见错误，并通过例题加以分析，让学生加深对法则的理解，从而可以提高学生应用法则解题的能力.

【关键词】极限；洛必达法则；未定式

【中图分类号】O171【文献标识码】A

【基金项目】中南民族大学教研项目，项目编号：JYX09010.

极限理论是高等数学的基础理论，在高等数学中几乎每一个概念都离不开极限，而极限的运算又是高等数学中一类非常重要的计算，其计算方法多种多样.洛必达法则是用来求00型和∞∞型未定式的极限的一种简便且重要的方法.

洛必达法则的内容比较容易理解，应用其求极限方法也较易掌握，所以学生在解题时很喜欢应用此法则.但是在教学过程中发现，学生在实际应用当中经常出现各种错误，使得无法求出正确的极限值.本文主要对学生在应用洛必达法则求极限的过程中出现的错误进行了比较全面的归纳，并通过具体的典型例题加以分析.

1忽略了洛必達法则的使用条件

洛必达法则仅限于求00型和∞∞型或可化为这两种类型的未定时的极限，若不满足这一基本条件是不能使用洛必达法则的.因此在解题时必须先验证所给极限是否为00型或∞∞型.尤其是在连续多次应用洛必达法则时需要逐步验证.

例1求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+100

错解limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=limx→166=1.

分析上述求解过程中，洛必达法则连续使用了三次，但在第三次应用法则时limx→16x6x-2已不是未定式，对其应用洛必达法则是错误的.

正确解法limx→13x2-33x2-2x-1=limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→16x6x-2=64=32.

2.把洛必达法则的条件当成了充要条件

事实上，洛必达法则的条件只是充分条件，不是必要条件.因此当limf′（x）g′（x）不存在（且不等于∞）时，并不能断定limf（x）g（x）也不存在.

例2求limx→0x2sin1xsinx00

错解limx→0x2sin1xsinx=limx→02xsin1x+cos1xcosx，因为x→0时，cos1x极限不存在，因此limx→02xsin1x+cos1xcosx不存在，所以limx→0x2sin1xsinx也不存在.

分析limx→02xsin1x+cos1xcosx不存在，不能断定limx→0x2sin1xsinx也不存在.可用其他方法求解.

正确解法limx→0x2sin1xsinx=limx→0xsinxlimx→0xsin1x=1×0=0.

3.不注意化简及与其他求极限的方法相结合

洛必达法则的确是求未定式极限的一种比较有效的方法，但是在计算过程当中如果能化简的不化简，又没有恰当的与其他求极限方法相结合，那么很可能导致计算繁琐，以至无法求得正确结果.这一点很多学生在解题时是经常忽略的，往往计算了大量篇幅，却求出了错误结果或半途而废了.

下面举例说明：

例4求limx→π2tanxtan3x∞∞

分析如果直接应用洛必达法则，分子分母的导数会越来越复杂，尤其在经过多次求导之后.如果进行适当的恒等变形和化简，则可简化计算.

解limx→π2tanxtan3x=limx→π2sinxcosxsin3xcos3x=limx→π2sinxsin3x·limx→π2cos3xcosx=-limx→π2-3sin3x-sinx=3.

此题的常见错误还有误把x→π2当作x→0，直接使用等价无穷小代换.

例5求limx→0sinx-xcosxsin3x00

分析如果直接应用洛必达法则，分母的导数（尤其是高阶导数）会较繁.如果先采用等价无穷小代换，那么运算就方便多了.

解因为x→0时，sinx：x，所以limx→0sinx-xcosxsin3x=limx→0sinx-xcosxx3

=limx→0cosx-cosx+xsinx3x2=limx→0sinx3x=13.

4.误认为洛必达法则是万能的

洛必达法则虽然对求未定式的极限很有效，但也不是万能的.一方面，对于某些未定式，应用洛必达法则是无法求出其极限的；另一方面，对于某些类型的未定式，应用其他求极限的方法可能要比应用洛必达法则方便的多.

例6求limx→π2secxtanx∞∞

分析如果应用洛必达法则，有limx→π2secxtanx=limx→π2tanxsecxsec2x=limx→π2tanxsecx，再次应用洛必达法则又回到了原来的形式，这说明洛必达法则失效.应采用其他方法来求.

解limx→π2secxtanx=limx→π21cossinxcosx=limx→π21sinx=1.

如上例情形的还有limx→+∞1+x2x，limx→+∞ex-e-xex+e-x等，这些极限如果应用洛必达法则来求都会出现循环现象，因此不能应用洛必达法则，但都可应用其他方法求出其结果，读者可自行求解.

下面我们再来举几个应用其他求极限的方法要比应用洛必达法则更简便的类型.

例7求limx→0cosx-e-x22sin4x00

分析如果应用洛必达法则，要连续多次使用，分子分母的导数会越来越复杂，很容易计算错误，本题可以等价代换后，应用泰勒公式来求极限.

解因为当x→0时，sinx：x，cosx=1-x22+x44+o（x4），

e-x22=1-x22+12！x44+o（x4），所以limx→0cosx-e-x22sin4x=limx→0-x412+o（x4）x4=-112.

例8求limx→0+sinxx1x21∞

分析对于1∞型未定式，利用重要公式limx→0（1+x）1x=e来求解通常也会比应用洛必达法则简便.

解法一（应用洛必达法则）

limx→0+sinxx1x2=limx→0+e1x2lnsinxx=elimx→0+1x2lnsinxx，

由于limx→0+1x2lnsinxx=limx→0+xsinx·xcosx-sinxx22x=limx→0+xcosx-sinx2x2sinx=limx→0+xcosx-sinx2x3=limx→0+-xsinx6x2=-16，

所以limx→0+sinxx1x2=e-16.

解法二（應用重要极限公式）

limx→0+sinxx1x2=limx→0+1+sinx-xxxsinx-x·sinx-xx·1x2=elimx→0+sinx-xx3，

由于limx→0+sinx-xx3=limx→0+cosx-13x2=limx→0+-sinx6x=-16，所以limx→0+sinxx1x2=e-16.

显然解法二要比解法一简便很多.事实上，对于1∞型未定式，应用重要极限公式来求极限往往要比直接应用洛必达法则要更简便，关于这一方面的内容可参见文[3].

可见，尽管是符合洛必达法则条件的未定式，也不能盲目的使用洛必达法则，而要分析所给题目的类型，尽量选用较简洁的方法，才能够方便快捷的得到正确结果.

总之，要想应用洛必达法则准确快捷的求出未定式的极限，一定要避免上面所提及的一些常见错误，并灵活应用各种求极限的方法.希望以上内容对于学生们更好的应用罗毕达能够起到指导意义.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2008：：134-139.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001：141-146.

[3]殷红燕.两个重要极限公式求特定类型的极限的方法[J].高等函授学报，2012（6）.