说题一道技能大赛题有感

刘仁琴

【摘要】通过一次技能大赛的比赛，挖掘试题考查的知识、能力、思维等功能.分析试题的解题思路，切入点，关键点，预测学生的思维障碍.体会说题的价值及教学反思.课堂教学中注意一题多解，一题多变，启发对题目的类型、条件的有效拓展.实现对试题的延伸与拓展

【关键词】考查的知识、能力、思维；思维障碍，试题解析思路，一题多解，变式与拓展，反思总结

题目：已知抛物线C：x2=2pyp>0上一点S（m，4）（m>0）到焦点F的距离为|SF|=174.

1.求p，m的值；

2.设抛物线C上一点P的横坐标为t（t>0）过P点的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值.

波利亚在《数学的发现》的序言中写道：“中学数学教学首要的任务就是加强解题的训练.”从近几年的高考试题看，注重对教材中的基础知识，基本技能，基本方法和基本思想的考查.这道题设计巧妙，知识覆盖面广.对于教师把握新课标要求更高，思维能力更强.能有效检测教师的专业能力，教学能力和教研能力.同时又能考查学生基础知识，基本技能，及解题时注重通性通法.还能培养学生的思维能力，提高学生的综合素质，达到真正有效的教学.此题通过以下三个方面考查：

（一）考查要求

从知识方面：

（1）考查抛物线的定义，标准方程和简单的几何性质；

（2）直线方程，曲线的切线方程及导数的几何意义，曲线与方程、不等式等多种知识之间的交叉、渗透和综合.

从能力方面：

（1）培养学生运算求解能力；

（2）数形结合能力及识图、析图数据处理能力；

（3）化归转化能力，使学生知识形成系统性，各种能力得到整合，获得全面发展.

从思想方法：

（1）几何问题代数化；

（2）数中有形，形中有数，数与形的完美结合的思想；

（3）函数与方程的基本思想.

（二）学情分析

（1）第一小题考查抛物线的定义及几何性质难度中等偏易的题，学生易错点是求抛物线的准线方程，正确理解抛物线的定义；

（2）第二小题涉及太多点的坐标是未知的，首先应克服心理关.注意解题时的通性通法.繁难的计算如何逐步分解，尽量减少未知量分别求出Q，M，N的坐标，对于MN是曲线的切线，利用切线的几何意义的处理.大部分的学生有一定的困难，或者理解M点在过N点的切线方程.涉及函数方程的思想方法求t的最小值是此题的难点，如何突破难点？怎样让学生构建一个有序的网络化的知识体系，使学生各种能力得到整合，获得全面的发展.通过对本题分析讲解，一题多解，拓展与变式得以巩固.

（三）析题

切入点：对问题（1）准确理解抛物线的定义，求m，p；对问题（2）减少未知量使用，用t表示P，Q，M，N点的坐标，利用数形结合，把几何问题代数化.

关键点：分别求出P，Q，M，N的坐标，准确理解MN是曲线C的切线与N的导数值关系.存在P点就是PQ的斜率存在，关于k的方程有解.利用函数方程的思想，求t的最小值.

（四）解题

图1

（1）解抛物线的准线y=-p2，则FS=4+P2=174，P=12又S（m，4）在抛物线上，∴m2=4（m>0），m=2.

方程x2=y，所以m=2，p=12.

（2）过P点（t，t2）斜率存在的直线方程可设y-t2=kx-t，联立y-t2=k（x-t），x2=y，得x2-kx+kt-t2=0.设Qx1，y1，MX0，O，Nx2，y2.

x1，t是方程的两根，则x1t=kt-t2，x1=k-t，所以Qk-t，k-t2，Mkt-t2k，0.

直线QN与PQ垂直直线QN的方程y-（k-t）2=-1k（x-k+t），联立方程组y-k-t2=-1kx-k+t，x2=y，得x2+1kx-k-t2+tk-1=0.

则又∵x1+x2=-1k，x1=k-t，x2=-1k-k+t，

N-1k-k+t，-1k-k+t2，kMN=-1k-k+t2-1k-k+t2k，

MN是C的切线，kMN=2x2，-1k-k+t2-1k-k+t2k=2（-1k-k+t）整理k2+kt-2t2+1=0.

关于k的方程有解则，Δ=t2-4×-2t2+1≥0.

9t2-4≥0；t≥23或t≤-23（舍去），∴t≥23，t的最小值23.

点评先确定PQ的直线方程，联立方程组求出M，Q点坐标.QN与PQ垂直，确定QN的直线方程，求出N点坐标.直线MN与曲线C相切，利用导数的几何意义，整理出关于t，k的方程，方程有解，从而求t的最小值.解题时注意通性通法，在不同知识交汇处要进行有效整合.解析几何常常用“山重水复疑无路，柳暗花明又一村.”

第二小题解法2：设Pt，t2，Qx，x2，Nx0，x20，则直线MN的方程y-x20=2x0x-x0.

令y=0，得Mx02，0，所以kPM=t2t-x02=2t22t-x0，kNQ=x20-x2x0-x=x0+x.因为NQ⊥QP，且两直线斜率存在，所以kPM·kNQ=-1.即2t22t-x0·x0+x=-1.整理，得x0=2t2x+2t1-2t2.又Qx，x2在直线PM上，则MQ与MP共线，得x0=2xtx+t.由得2t2x+2t1-2t2=2xtx+t（t>0）.所以t=-x2+13x，所以t≥23或t≤-23（舍去）.所以所求t的最小值23.

点评分别设出P，Q，N的坐标，利用直线MN，求出M点坐标，直线PM与NQ互相垂直，又M，Q，P三点共线，用t表示x0，整理得关于x，t的函数利用均值不等式求t的最小值.第二种解法利用三点共线应用曲线方程与不等式知识的有效结合.

（五）变式与拓展

变式1已P知抛物线C：x2=2pyp>0，其焦点F到准线的距离12.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过M（0，1）作两条直线l1，l2，l1与抛物线交于点A，B，l2与抛物线交于E，F，且直线AE，BF，且直线AE，BF交于点P，直线AF，BE交于Q点，求证：MP·MQ是定值.

变式2已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（C>0）到直线l：x-y-2=0的距离为322，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

（1）求拋物线C的方程；

（2）当点Px0，y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程.

（六）反思

在我们数学教学过程中，应教会学生思考，善于思考，进行一道题目多种思路解法的训练和变式训练，让学生的思维迁移、发散、开拓和活跃.使学生形成有序的网络化的知识体系，从中领会“化归转化、数形结合、函数与方程”等基本数学思想.教学中鼓励学生大胆猜想、探究、培养学生的创新能力，进一步激发学生的合作探究意识.只有这样，课堂教学才会充满与创新，在教学中演绎精彩.说题是一种教学教研活动，是一种有效的教与学的途径，也是促进教师专业发展和促进学生学习的有效途径.更有效地把握教材和高考命题的方向，发挥教材中例题，习题和高考试题的作用，提升课堂教学的针对性和有效性，促进教师专业水平的提升.