独立学院概率论与数理统计教学案例教学法及实践

刘晓花

【摘要】近几年独立学院作为我国高等教育的组成部分发展日益壮大，独立学院与普通公办高等院校相比有许多新的特点，人才培养目标与培养对象有其自身的特点，这对基础类课程的教学提出了很多新的课题和挑战.本文试从独立学院现阶段概率论与数理统计课堂教学存在的问题出发，结合课程特点，研究案例教学法在课堂教学中的应用.

【关键词】概率论与数理统计；独立学院；案例教学

概率论与数理统计是独立学院经管、工科类各专业重要的数学基础课，一般开设在学生掌握微积分知识之后，系统展开专业课程学习之前.随着统计技术在社会各经济、管理等方面的普及和应用，概率论与数理统计的教学就变得更加重要.统计技术广泛的应用基础，也为课程提供了丰富的教学案例.在该门课程教学中采用案例教学法，一方面能帮助学生理解较抽象的数学知识，让传统刻板的数学课程生活化，活跃课堂氛围，提高学生的学习兴趣；另一方面，实施案例教学法能更好地实现民办独立学院应用型人才的培养目标，通过课堂上对案例的分析与数学方法的求解，提高学生解决实际问题的能力，并将这种能力继续深化在专业课程的学习中，锻炼实践应用的能力.

一、独立学院概率论与数理统计课堂教学存在的主要问题

课堂教学的低效性是目前独立学院数学教学改革面临的一大难题，这主要是学生基础差、怕数学，同时独立学院人才培养模式下，基础课课时缩减，教师为完成教学内容，赶课时，赶进度，灌输式的教学所造成的巨大矛盾.课堂上形成了学生对教师的高度依赖，始终处于单向被动接受知识的地位，课堂后，学生对书本没兴趣，更惰于思考生活中遇到的问题如何用数学方法求解.对应用型人才培养目标而言，这个现象更值得深思.概率论与数理统计本身是一门理论性和应用性都很强的课程，这门学科为解决实际问题提供可靠的理论方法和模型，在技术分析及管理决策中的应用表现出比别的学科更强劲的优势.独立学院学生学习该门课程其目的不应只在数学本身，而更应体现在课程方法的具体应用.因此，概率统计的教学必须体现应用的特点，强化学生实践能力的培养，加强知识的迁移.为了解决这一问题，积极开展案例教学，引导学生进行自主学习和探究性学习，是独立学院概率论与数理统计教学改革的当务之急.

二、概率论与数理统计的案例教学设计和实施

在概率统计课程实施案例教学法，是将传统“定理—证明—例题—练习”的教学授课环节重新进行整合，以师生互动讨论案例展开学习环节，并以此为重点，在求解案例时运用本节课将要学习的理论，让学生在案例中理解定理应用的基础和计算办法，即案例教学法的授课环节为“案例—定理—练习”，这种学习过程以案例代替了例题，更容易让同学们在课堂之初就了解本节内容的主题，把握本节知识的应用方向.同时这一学习过程弱化了传统教学中理论证明的环节，可以将课堂中富余的时间让同学练习，巩固新知识，并牢记新知识应用的条件和计算.

完成一次概率论与数理统计案例教学需要做好几个工作.第一个工作是编写案例，教师在备课时，需要认真挑选与本节教学理论知识关联度高的例子，要兼顾同学已具备的计算知识，以及案例的实用性、趣味性和代表性，另外案例的求解过程不能太复杂，以免耽误过多的课堂时间.第二个工作是教学实施，编写合适案例后，课堂授课从提出问题开始，由教师引导同学思考问题，在案例问题的求解过程中引出新的数学概念，从而进行新知识讲解环节.讨论并归纳出求解此类问题的思路和方法，计算得到案例的答案.再列举一些类似的例子，让同学们自主练习计算，通过类似案例的分析解决找到它们的共性，锻炼同学们的归纳能力，掌握新的数学概念.第三个工作是考核，为提高案例教学效果，教师可对学生学习情况进行考核.考核方式可采用课堂作答和课外设计两种方式.课堂上教师给定某个小案例，要求学生依照之前的讨论方式，独立求解作答.另外，教师可给学生布置课程设计，要求同学以小组为单位，亲身经历案例搜集、编写、讨论分析和计算的整套过程，考察学生观察问题、解决问题的能力.第四个工作是总结，课后教师应及时评估授课效果是否达到预期目标，检查选择的案例是否与教学目的完全吻合，调整案例的难度，对案例讲解的互动情况进行总结，以便设计好下一课程的讨论.

下面结合教学实践，给出教学案例，以供交流.

案例1：利用独立性理论，证明谚语“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”.

教学目的：认识随机事件独立的概念和性质.

教学过程：假定A，B，C三人独立思考解决某一问题的能力分别为0.6，0.5，0.55，即3人解决问题的能力大致都只有一半，则这个问题得到三人之一解决的可能性为：

P（A∪B∪C）=1-P（A∪B∪C）=1-P（ABC），

而事件“ABC”表示“三人都不能解决这个问题”，那么有：

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.4×0.5×0.45=0.09，

即P（A∪B∪C）=1-0.09=0.91.

这意味着三个半桶水的臭皮匠居然能有91%的可能性解决问题，聪明的诸葛亮也不过如此.而且当“臭皮匠”人数增多時，这个优势更加明显.假设n个人解决某一难题的能力都只有ε，则问题能被解决的可能性为：1-（1-ε）n，显然当n→∞时，1-（1-ε）n→1，即问题一定会被解决的，这个算式，可谓是“集思广益”的数学验证.

案例2：由期望值选择最佳方案.

教学目的：掌握数学期望的计算方法，理解期望的应用意义.

教学过程：验血是医学检验上排查疾病的常用方法，假设有n人需验血，有两种检验方案可选择，

（1）分别化验每个人的血样，共需化验n次；

（2）分为若干组化验，将k个人的血样混合，若混合后的血样为阴性，则该组只需检验一次，若为阳性，则需再分别检验k人的血样，即该组共需化验k+1次.

若已知某种疾病的患病率为p（即血样呈阳性的概率），且每个人的化验结果互不影响，比较哪种方案更经济呢？

由于方案（1）的结果是确定的，要比较两个方案的优劣，只需计算出方案（2）的平均值即可.为便于计算，假设总人数n是k的整数倍，血样平均分为n/k组，若第组化验次数为Xi，则Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=（1-p）k，P（Xi=k+1）=1-（1-p）k，

计算得每组平均检验次数为：E（Xi）=（1-p）k+（k+1）1-（1-p）k

=（k+1）-k（1-p）k，

又化验总次数X=X1+X2+…+Xn/k，

所以，E（X）=E（X1+X2+…+Xn/k）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn/k）

=nk（k+1）-k（1-p）k=n1+1k-（1-p）k

=n1-（1-p）k-1k.

當（1-p）k-1k>0时，E（X）

相关的案例还有很多，限于篇幅就不多举例.总而言之，如果在课程中适当地安排一些应用案例，对典型经济案例进行透彻的分析和讨论，将使学生逐步学会应用所学数学知识解决实际经济问题，从而进一步巩固数学基础知识，提高知识的应用实践能力.

三、案例教学法实施的展望

案例教学是一种新的现代教学方式，在培养学生的数学应用思维、活跃教学课堂方面有着传统教学法无法比拟的优势.但案例教学法在概率论与数理统计教学中广泛开展，仍需要广大师生及学校的共同努力.需要教师对教学方式、教学内容进行大胆改革和创新，对生活、经管中的经典案例进行广泛搜集，反复对案例进行改编，课堂上摆脱固有的教学节奏，贯彻实施案例教学.需要学校从体制上支持教师教学的改革转变，肯定教师的努力成果.需要学生配合完成教学环节的每个步骤.只有三方的共同努力，才能使得案例教学法在概率论与数理统计教学改革中发挥积极的作用，取得良好的教学效果.

【参考文献】

[1]吴赣昌.概率论与数理统计[M].北京：中国人民大学出版社，2006.

[2]张远南.概率和方程的故事[M].北京：中国少年儿童出版社，2005.

[3]于涛.以案例促进《概率论与数理统计》教学[J].中国科教创新导刊.2010.05.