论高等数学在初等数学中的应用

穆圳

【摘要】本文首先分析了初等数学与高等数学之间的关系，然后通过运用高等数学知识解答几个初等数学例题，来说明高等数学知识在初等数学解题中的优势.

【关键词】高等数学；初等数学

一、引言

初等数学知识是学习数学知识的基础，只有学习好了初等数学才能够更好的学习高等数学，所以高等数学是在初等数学基础上的发展与提高.同时考虑到学生接触年龄阶段普遍的思维方式以及接受知识的能力，综合考虑有必要先进行初等数学知识的学习.但是反过来，学习了高等数学以后，可以运用高等数学知识更好地理解和解决初等数学相关知识.

二、高等数学知识在初等数学中的应用实例

不等式的证明是最常见的一种高等数学知识的灵活运用，另外概率法、微积分、齐次线性方程组等高等知识的运用同样使初等数学问题明朗化和简易化.下面简单对其中的几种高等知识运用问题进行实际分析.

1极值问题知识在初等数学中的应用

例1求函数f（x）=x3-3x+3（x>0）的最小值.

解设x0=x-m，则f（x）=（x0+m）3-3（x0+m）+3=x0+3mx20+（3m2-3）x0+3-3m+3m2.

令3m2-3=0，則解得同m等于1和-1，因为x>0，则f（x）=（x-1）3+3（x-1）2+1=（x-1）2（x+2）+1≥1.

所以，当x等于1的时候，函数存在极值，即最小值，最小值为1.

从这个例题中可以看出，运用极值进行问题解答的关键在于把函数展开成一个缺一次项的展开式，在高等数学里可直接使用泰勒级数，但初等数学中就只能采用待定系数法.高等数学的指导意义在于若函数在给定区间内存在极值，则存在使其一阶导数为零的点，因而函数的泰勒级数一定有使一次项系数为零的点存在.而求导的一个初等化方法就是可用待定系数法来达到这一目的.也就是求得使一次项系数为零的常数m.

2利用函数的单调性质证明不等式

利用函数的单调性是一种最常用也是最常见的证明不等式的方法，其有以下几个步骤组成：

（1）对不等式进行变形，使不等号左端或者右端化为f（x）的形式，另外一端等于零（或者等于一个常数），一般来说函数肯定会有一个端点值又或者其数值的正负已经确定；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）根据f（x）的单调性以及端点值，就能够解决不等式的证明问题了.

例2证明当0

证明令f（x）=tanxx，x∈0，π4，则其导数F（x）>0，说明f（x）在0，π4上单调递增，并且可导，那么x=π4时取得最大值，由于x位于分母上不能为零，f（x）那么用无限趋近于零，取得其最小值0.所以当0

通过函数单调性进行不等式的证明关键是构造函数，然后根据其导数函数的符号，有必要的话可以求更高阶导数，其目的是最终确定所构造函数在区间内的单调性，通过求端点值来证明不等式.

3利用向量问题证明不等式

向量的数量积存在性质：a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|.

例3设a，b，c，d∈R+，证明（ab+cd）≤（a2+c2）·（b2+d2）.

证明构造向量m={a，c}，n={b，d}，那么存在

（ab+cd）2=（m·n）2=|m|2|n|2cos2θ≤|m|2|n|2=（a2+c2）（b2+d2）.

4微积分在初等数学中的应用

例4证明当0

证明设y=lnx，它在区间[a，b]满足拉格朗日中值定理的条件，有lnb-lnab-a=1ξ，0

若用初等数学的知识解题便会发现此题几乎无从下手，将不等号两边相减或相除来证都是比较困难的，因为有个对数函数在，而只要用拉格朗日中值定理，则此题便迎刃而解.

三、结语

从例题我们可以看出利用初等数学知识来解答这些问题的话，必然会繁琐无比，而我们通过利用高等数学知识就可以很巧妙地将题解出来，但是这并不意味着可以省略初等教学过程，而直接进行高等数学知识的学习，因为初等数学知识是基础，只有将基础打牢了，才能够更好的学习高等数学知识，才能更灵活地运用高等知识进行解题.同时还需要考虑的是学生不同年龄段的接受知识能力不同，而进行不同程度的教授知识.

【参考文献】

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