极限理论在高等数学教学中的地位与作用

孙彩贤 豆俊梅

【摘要】本文对极限理论在高等数学教学中的地位与作用一些初步的探索，高等数学中的众多概念都是一种极限思想.

【关键词】极限理论；教学地位；作用

在高等数学的教学中，要把微积分的理论讲清楚，就要分析透极限理论的思想，从而使学生更好的理解高等数学的众多难点和重点，可以说理解了极限理论就为高等数学的后续学习打下了夯实的理论基础，起到事半功倍的效果.我们自从开始高等数学的学习，一直都离不开极限理论.在高等数学中，最先介绍的就是数列和函数的极限基本内容.极限理论在高等数学中扮演重要的角色，它也是区分高等数学与初等数学的一个最重要的标志.在初等数学中，我们不能解决很多问题（瞬时速度、曲面体体积、曲边梯形面积等），但是在高等数学中引入极限理论后，这些问题迎刃而解.

一、极限理论的发展历程

无限分割是我国最先出现的极限思想，我国数学家刘徽（公元前三世纪三国时期）提出了《割圆术》的方法去求圆的面积（《九章算术》中记载），刘徽算出最多的是圆的内接正3072边形的面积.后来我国数学家祖冲之通过割圆术计算圆的面积，并且把圆周率精确到小数点后第7位.数学家波尔查诺（捷克斯洛伐克人）是全世界最早给出用极限定义函数在一个区间上连续的人，并且他定义与现在基本一致的导数的定义.后来经过柯西和维尔斯特拉斯的努力，确定了“ε-δ”语言，完全摆脱了几何的直观，极限理论也变得成熟，逐渐形成了现在的一系列极限理论，课堂中告知学生极限的发展史使同学们认清极限的理论的来之不易.

二、高等数学的重点内容均是一种极限思想

微积分是高等数学的核心内容，微分与积分的实质即是一种极限思想，另外高等数学的重要概念如连续的定义、级数的敛散性定义等均是以极限的思想给出的，因此，在高等数学的教学中始终要把极限思想贯穿于整个教学环节中.

首先连续的概念是由极限来定义的，连续函数从图形上看，就像是坐落在水平线上的连绵不断的山脉.这种直观的认识并不精确，虽然连续函数虽然在18世纪许多数学家已经开始研究了，但是连续函数有较为精确定义是到维尔斯特拉斯和柯西等数学家建立了基本的极限理论后才出现的，连续即是一种极限的形式的表现.

其次导数的定义也是以极限为基础的，Fermat（法国数学家）研究极值问题时最早引入了导数的概念，后来Newton（英国数学家）和Leibniz（德国数学家）分别在研究运动规律求速度和已知曲线求它的切线建立了同样的形式解决问题.这两个问题在形式很是不同，而且不是一个领域的问题，但是它们归结到数学上都可以用导数来解决，是没有任何区别.

最后高等数学中的又一重要概念积分同样是由极限给出的，积分分为很多种形式（不定积分、定积分、多重积分、曲线积分、曲面积分等），不定积分是利用导数的反运算定义的，而导数是用极限来定义的，所以也可以说不定积分也是由极限定义的.而其他的积分形式都是直接由极限来定义的.定积分是数学家在研究其他问题（曲边梯形的面积和变力做功）时引入的.简而言之，定积分就是我们通常要经过“分割，近似求和，取极限”的方式进行计算的某些特殊和式的极限.

三、结束语

总结前面的叙述可以看出，整个高等数学的基本概念基本都应用了极限的思想.在高等数学教材中都是按下面的顺序进行介绍学习的：

数列（函数）的极限理论→连续函数→导数→不定积分→定积分→级数→多元函数的偏导数→广义积分→重积分、曲线积分、曲面积分

从教材的编排顺序中就可以看出，极限理论是高等数学中最基础，同时也是最重要的内容.极限理论的出现不仅使我们做到了无限的过程，而且使我们的认识变得越来越精确.

极限理论为微积分打下了基础.可以说微积分处处有极限，微积分就是一门以极限为基础，以极限理论为主要工具去研究函數的学科.教师在课堂教学过程中应该处处时时提醒学生用极限的思想去思考、处理问题，教师要把这些重要概念的极限理论讲清楚，使同学们掌握高等数学中重要概念的实质性问题即极限问题，强调极限理论在高等数学中的重要作用和地位.

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