数学软件在微积分课程教学中的应用

张喜娟 徐玉洁

【摘要】在微积分教学中引入数学软件辅助教学调动了学生学习数学的积极性，使抽象的数学概念具体化.借助于Maple，Matlab绘制的几何图形可以直观、充分地体现微积分的概念的内涵，克服了传统教学中讲解内容抽象，手工绘图不准确，教学内容难以扩展等方面的不足，使微积分的教学变得更加形象生动.这有助于提升学生学习微积分的兴趣，提升他们的课业成绩.

【关键词】微积分；极限；隐函数；Maple；Matlab

一、微积分课程教学的困难点

微积分教材注重理论的严谨性， 缺乏以直观、具体的方式描述微积分的概念.数学概念的抽象和严谨，使得某些数学基础薄弱学生的理解有一定困难.会让这些学生望而生畏，感到数学的许多东西都是看不到，摸不着，抽象、枯燥使学生学习数学课程的兴趣降低，不及格率增加.

而数形结合的思想是要充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，将这种思想方法引入到微积分教学可以帮助学生解决一些数学概念抽象难于理解的问题.我们试图在教学中采用图像的方法说明概念、定理、公式.借助数学软件，通过数与形的紧密结合，从几何直观入手分解抽象的数学概念的难度，以从不同侧面帮助学生对数学知识的理解并掌握.

Maple及Matlab等数学软件为用几何图形去刻画微积分课程的概念、定理与运算的辅助教学提供了很好的手段.借助于Maple及Matlab绘制的几何图形可以直观、充分地体现微积分的概念的内涵，克服了传统教学中讲解概念、定理或计算的内容抽象，手工绘图不直观、不精确，教学内容难以扩展等方面的不足，使微积分的教学变得更加形象生动.这些图形有助于提升学生学习微积分的兴趣与综合理解，提升他们的课业成绩.

在近些年中，我们逐步把数学软件的使用引入了微积分课程的教学，在下面几个方面做了一些有益的尝试，取得了一些成果.

二、微积分概念的直观理解

1.重要极限的图解化

极限是微积分学习中非常重要的一个概念，学生对此概念的理解掌握一定程度决定了他们对课程其他内容的理解与掌握.微积分中函数极限的概念是学生初学微积分时的一个难点，有些学生会极限的计算，却没有真正理解极限的含义，学生不能完全理解无限逼近的动态过程.为了让学生理解好极限这个很基础又重要的数学概念，在讲完极限的抽象概念后，画出一些学生计算过的极限的函数图形，通过观察曲线，加强学生对极限概念中无限逼近这一过程的理解.

有一些特殊函数的极限学生理解有困难，如由三角函数与幂函数的四则运算所构成的函数，学生对求这些函数的极限觉得很抽象，而手画这些函数的曲线又十分困难和不准确，借助Maple软件可以很方便画出函数的曲线，同时还可以得到一些非常重要的结论.

例如求下面函数的极限，这四个表示式相似函数的极限，一直是学生不易掌握的内容：limx→0xsin1x，limx→∞xsin1x，limx→01xsinx，limx→∞1xsinx，这涉及重要极限之一和无穷小与有界量乘积是无穷小的知识点.学生会计算上述极限之后再用数学软件将所求极限函数的曲线画出加以几何说明.

启动Maple软件，输入下列语句运行后可画出曲线，如图1，2，3，4所示.

2.隐函数曲线的图形

在讲授隐函数的概念时，教师课上抽象的说方程与函数的关系，学生理解有困难，学生对于方程所确定函数的理解一直似是而非，尽管教师总是强调y 是x的函数，学生也理解不了这一层的函数关系，这影响了学生隐函数导数计算的准确性.在计算隐函数的导数时，有的学生是机械性的记忆，隐函数关系理解不到位.可是学生对于中学接触过的方程如x2+y2=1却很容易接受其对应的函数关系，说明几何图形对学生理解隐函数的概念是有意义的.教师在课上通过将方程对应的几何图形展示出来，使学生看到表示隐函数方程所对应的函数曲线，学生就可以真切的感受到函数关系的存在，从而容易接受方程对应一个存在却写不成的函数——隐函数的概念，并加深对此概念的理解与掌握.另外将方程所对应的曲线展现在学生面前，可以让学生把方程与曲线，方程与函数融会贯通起来.

例如启动Maple软件，输入下列语句运行后可画出方程ey+xy-e=0所对应隐函数的曲线，如图5所示.

x=0：.1：10；

f=inline（exp（y）+x*y-exp（1））；

for i=1：length（x）

y（i）=fsolve（@（y） f（x（i），y），x（i），optimset（Display，off））；

end

plot（x，y，d）；

grid on；

xlabel（x）；ylabel（y）；

title（隐函数ey+xy-e=0 的图像）；

函数关系不可显化的ey+xy-e=0方程中确定的隐函数y=f（x）的关系得到了图解说明.

三、易混淆问题可以明晰

无穷小与有界量相乘是无穷小，提问学生无穷大与有界量相乘的结果是什么？无穷大量是无界量，但无界量是无穷大量吗？学生凭直觉无界量不会是无穷大量，但却想不出具体的反例.教师在课堂画函数xsinx的曲线，让学生观察当x→∞时函数的变化趋势.通过几何曲线学生可以很好理解上述两个概念的区别和联系，

启动Maple软件，输入下列语句运行后可画出曲线，如图6所示

老师在课下准备好的曲线在课堂PPT上投影，不如用软件在课堂现场画图对学生的直觉冲击要大.学生是带着问题，带着思考在等待曲线的结果.另外还可以把学生想出的曲线画出来，从直观可以看出哪些是正确的反例.

四、知识点之间的贯通

大多数学生知道一元函数在几何图形上表示平面直角坐标系中的一条曲线，而二元函数表示在空间直角坐标系中的一张曲面.教师只在课上给出某个二元函数所对应的空间曲面，学生印象不深，理解不到位.现在教师通过软件可以多演示一些曲面，尤其是学生在后面章节将要遇到的一些二元函数.

通过课堂的学习学生知道三元一次方程表示平面，但在习题课上给出二元函数z=7-2x+6y2，问学生几何意义是什么却想不出来.当教师把图形画出后，学生看到平面图形，能够想到此函数即是三元一次方程.这时学生可以将函数、定义域、方程及曲面之间的关系贯通起来，多次变换方式的知识重现使学生能够更好的掌握概念.

例如启动Matlab软件，输入下列语句运行后画平面2x-6y+2z-7=0的图形，如图7所示.

[x，y]=meshgrid（[-10：0.5：10]）；

z=（7-2*x+6*y）/2；

surf（x，y，z）；

xlabel（itx）；

ylabel（ity）；

zlabel（itz）；

legend（（7-2*x+6*y）/2=z）；

另外还可以将一些二元函数留给学生作为课下作业，将它们所表示的曲面画出.这样通过几何图形的直观画面印象的建立可以为后面章节中的二元函数的极限，偏导数，全微分等概念和计算作出前期的铺垫，在后面就可较顺利的理解更数学化的抽象概念，从而完成了知识点的连接贯穿教学.

五、独立思考及分析问题解决问题能力的培养

在习题课上对于学生利用计算方法计算过的一些定积分，让学生用Matlab软件再验证，以达到熟练语句的目的.如计算定积分∫40x+22x+1dx=223.

对应语句：syms x；

y=（x+2）/（2*x+1）1[]2；

int（y，x，0，4）

ans=

22/3

问题1：计算积分∫+∞0e-x2dx，学生用广义积分方法计算时，发现被积函数在初等函数范围内原函数不存在，计算方法失效.

解法：让学生用Matlab软件试着计算：

Matlab的程序如下：syms x；

y=exp（-x2）；

int（y，0，+inf）

ans=

1/2*pi1[]2

看到学生感到软件好用.教师还可以介绍另一解，提示学生此问题还可以用二重积分来完成，从而给后面的学习留下铺垫，并让学生感到知识的连贯性.

问题2：计算积分∫10sinxxdx，

解法：学生使用数学软件计算，

对应语句：syms x；

y=sin（x）/x；

int（y，0，1）

ans=

sinint（1）

double（sinint（1））

ans=0.9461

这时又遇到问题，sinint（1）表示什么？建议学生用百度搜索解决，通过这样的方式，让学生体会发现问题，解决问题的过程，从而激发学生学习数学课程的兴趣.

问题3：计算积分∫0.20e-x2dx，学生继续使用数学软件计算，

解法：对应语句syms x；

y=exp（-x2）；

int（y，0，0.2）

ans=

1/2*erf（1/5）*pi1[]2

erf（x）是什么含义，学生自己可以查出是误差函数，并查出值为0.2227，最后算出积分∫0.20e-x2dx的近似值为0.1974.学生以前从来没有遇到过这个误差函数，当遇到问题时通过网络自己查询，最后将问题解决.

六、小结

当今数字化生存的时代，人们如果不想落后就必须使用先进的工具——计算机.使用了计算机后，平常用人力要花很多时间的繁复计算或作图在使用计算机后往往可以在“一瞬间”得出结果.

在微积分课程教学中引入数学软件辅助教学在一定程度上调动了学生学习数学的积极性，使抽象的数学概念具体化.软件教学生动、形象有助于学生理解抽象的数学概念，尽快突破学习难关，提高学习信心和兴趣.对抽象思维能力较差的学生来说，这种教学的作用更为明显.和传统的授课方式相比，图形具有直观性的特点，在课堂教学中，是教师吸引学生眼球，展示数学“美”的一种比较有效的教学手段，深受广大学生喜爱.

微积分课程数学软件的教学运用将数学分支的几何、代数、微积分这三方面的内容有机的联系在一起，不仅可以使学生掌握一些常用的计算机数学计算方法，还可加深对数学概念及理论的理解，同时掌握一些常用的应用数学计算方法，从而在学习基础数学的过程中进一步提高大学生的数学综合素质.而后面的数学建模与计算机计算的有机结合将极大地扩大数学的实际应用范围，人才培养的过程中，正确的前期思想启蒙基础教育方法则是后期发展重要方面，对点燃一个思想火种也很重要.

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