五味俱全的一节公开课

周衡

【摘要】新课程教学中如何使数学课生动、活泼的展现在学生面前.

【关键词】数学教学中的数学味；研究味；应用味；文化味；生活味等味道

要开《椭圆及其标准方程》这节公开课.一说起这节课，就使人想到公式、证明、推理，计算、解题，给人以严肃抽象、枯燥乏味的感觉.许多老师上过很多次课.很难上出新意.其实，数学完全可以以生动、形象、鲜活的面孔展现在学生面前，只要教师在平时的教学中多加点“调味料”，使学生在学习的时候，真正感受到学习数学的“酸甜苦辣咸”，从而激发学生对数学学习的“食欲”.

一、教学目标

知识目标：探究椭圆的定义及有关概念；弄懂椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；能够根据给定的条件求椭圆的标准方程.

能力目标：培养学生试验、观察、分析、抽象概括的能力；渗透数形结合和分类讨论等数学思想方法.

情感目标：通过让学生探究定义的形成，鼓励学生积极、主动的参与教学，激发其求知的欲望，同时在教学的过程中带领学生体会数学的对称美和简洁美，并对学生进行学法指导和爱国主义教育.

二、教学重点、难点

重点：椭圆的定义和标准方程的形式、特点； 焦点坐标的对应关系.

难点：（1）标准方程的推导，这过程涉及适当的坐标系的建立和无理方程的变形.

（2）椭圆定义中焦距与长轴的大小关系以及椭圆焦点分别在X轴和Y轴上时的方程的标准形式的区别与联系，这也是教学中的重点.

三、教学过程

1.新课导入——辣的生活味

案例在学习《椭圆及其标准方程》时，介绍如下事件：“嫦娥”一号飞船2007年10月24日18时5分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号甲运载火箭将嫦娥一号卫星成功送入太空.“嫦娥一号”卫星它的近月点工作轨道是200公里，远月点高度8 6 0 0公里以月球的球心为一个焦点 的椭圆形轨道.已知月球半径约3475公里.

“嫦娥二号”于2010年十月初奔月、在距离月球100公里的轨道工作、降落到距月球只有15公里处的轨道，对未来“嫦娥三号”月球着陆点探测地形地貌.

师：你能求出“ 嫦娥二号”卫星运行的轨迹方程吗？

在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？

（任何学科的教学都应体现生活味，可以说生活中处处有数学.我国著名的教育家陶行知先生曾提到“生活即教育”“社会即学校”“没有生活做中心的教育是死教育”.的确如此，实际生活是教育的中心，教育要通过生活才能产生力量而成为真正的教育.在数学教学中要有时代性并带有生活中味道，而数学和社会息息相关，因此如何将具有现代特征的、新闻类的知识充斥到数学教学课堂中去显得非常重要，尤其是在当今这个信息“爆炸”的社会中.让学生感到数学无处不在.大大调动了学生学习数学的兴趣，提高参与程度，为后续学习做好准备.并激发学生的爱国热情，调动起好奇心，激发起学生的学习本课的兴趣.效果颇佳.寓教于乐，其乐无穷！）

2.概念透析——苦的研究味

1.学生分组试验

2.分组讨论概括椭圆上的点满足什么条件

师问1：如果我把绳子缩短一些呢？

问2：如果我把绳子短到什么程度就不能画出椭圆？此时画出什么图形？

问3：如果绳子比定点短呢

有学生得出结论，一起归纳椭圆的概念

（1）复习求曲线的方程的基本步骤

（2）如何选取坐标系？

师问1：我们已经学习圆的标准方程那么如何建立坐标系使圆的方程看起来简洁漂亮

问2：椭圆与圆具有相同的对称性，如何建立坐标系，

以过F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系.

（在引入椭圆的概念时， 我准备了必要的工具， 大胆地请学生上来画椭圆，由学生自己进行实践和研究，通过把绳子缩短一点， 再短一点，再短一点所画 出的不同图形，由学生自己发现定义的不完整， 并补充完整.这是发现法，发现的结果会让学生记忆深刻.但它最大的缺点在于太耗费时间，所以在椭圆标准方程的推导上， 我采取了学生口述， 我来板书的方式， 将讲授法与发现法结合起来， 这样不但大大提高了课堂效率，也给了不同层次的学生互相学习的机会.注重概念形成过程.通过让学生亲自动手，分组讨论，从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力.让学生充分体会研究的苦味）

3.推导方程——咸的数学味

以过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系.

设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距│F1F2│为2c（c>0）、正常数为2a，则F1（-c，0）、F2（c，0）

根据椭圆的定义可得：│MF1│+│MF2│=2a（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a

（问3：这也是椭圆的方程式，但是繁，不美规，想一想：下面怎样化简？使漂亮点）

（1）学生在下面进行运算，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1～2名学生的推导过程利用实物投影仪展示出来，并请学生本人作简要陈述.

x2[]a2+y2[]a2-c2=1.

（2）b的引入

师问方程虽然简单些，但是椭圆有对称美，解析式也有对称美

椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0.

（3）如果椭圆的焦点在y轴上，并且焦点为F1（0，-c），F2（0，c），则椭圆方程为y2a2+x2b2=1a>b>0，这也是椭圆的标准方程，

2.两种类型的椭圆方程的比较：

归纳注意点

（学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，体会数学的对称美.通过练习来强化理解，深化知识点的掌握，突出重点、难点.开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性.让学生参与到问题的解答中，体验方程推导的全过程，培养运算能力.以问题驱动展开教学活动.“ 问题是数学的心脏”，是引发学生积极思考的动力.按照教学活动的展开程序， 设计了层层递进的系列问题， 引导学生积极有序地开展思维、 探究活动.同时也教给学生提出问题、 研究问题的学习方法， 调动学生主动参与学习，学会学习.是数学的原味，充满了辛勤汗水的.）

4.尝试应用——甜的应用味

1.下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？

（1）x2[]25+y2[]16=1

（2）9x2-25y2-225=0

（3）-3x2-2y2=-1

（4）x2[]m2+y2[]m2+1=1

注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然.

2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程

两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点到两焦点距离的和等于10；

变式一：将上题焦点改为（0，-4）、（0，4）， 结果如何？

变式二：将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？

（学生直接抢答）

（以例代练，充分让学生动手、动脑.及时反馈，强化知识点的学习，也起到激发学生学习数学的兴趣的作用.运用变式训练， 促进各层学生的发展.书上例题偏难， 缺乏台阶， 教师重新设计了模仿练习和综合 练习， 层层递进， 有机结合，适应了各层学生的学习 需求.）

一节课综合了有数学味、研究味、应用味、文化味、生活味.在整节课的实施过程中，学生切实体验到了从实践中发现问题，是学生主动探索、 合作交流的过程.用数学方法解决问题， 从而获得数学知识的过程.就是有数学原味的.学生在探究过程中， 渗透着分类讨论的思想， 培养了学生动手的实践能力.通过讨论交流以及发现的种种问题， 因势利导.在学生体验成功快乐的同时， 提炼了总结能力.椭圆形象朴实而平凡， 却华贵雍容.不但优美而且颇多含有朴素的唯物主义思想和科学道理，值得我们去回味和理解，也有助于对书本知识的理解.用诗词装点数学，在为数学服务的时候，增强了学生阅读、理解数学题目的能力.将文学和数学结合就是文理结合，真是美妙的结合.这样，还有谁觉得乏味呢？