浅谈高中数学归纳法的应用

卓为杰

【摘要】数学归纳法是数学上证明与正整数有关的命题，实际上就是关于正整数的无穷性命题。对数学归纳法的原理的理解是掌握种证明方法的关键，要熟练的掌握与应用数学归纳法，必须准确的理解其意义及掌握解题步骤，在解题步骤中运用归纳假设尤为重要，运用归纳假设推出结论最为关键。在高中数学上数学归纳法是一种直接的证明方法，应用十分广泛，一般来说，与正整数有关的一些恒等式、不等式、整除性、数列的通项及前 项和等问题。

【关键词】数学归纳法 归纳 应用

引言：在数学问题中，有一类问题是与自然数 有关的命题。当 表示一个命题，当 又表示一个命题，如此循环，无穷无尽，因此，一个与自然数 有关的命题实际上包含了无穷个命题。自然数有无限多个，不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的。但就部分自然数进行验证即用不完全归纳法得到的结论，又是不可靠的，为了证明这一类与自然数 有关的命题，一种切实可行又满足逻辑严谨性的证明方法出现了，它就是——数学归纳法。本文就高中数学第一归纳法的解题技巧与应用，举一些典型案例。

1.数学归纳法的概念

数学归纳法是数学上证明与自然数 有关的命题的一种特殊方法，主要研究与正整数 有关的数学问题。

2.数学归纳法的解题步骤

证明与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；

（2）（归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从 开始的所有正整数 都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。

运用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可。其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据。有第一步没有第二步，属于不完全归纳法，有第二步没有第一步，则第二步的假设就失去了基础。只有两个步骤都完成了，才能断定命题对于从 开始的所有正整数 都成立。证明命题时的难点和关键都在第二步，主要在于如何合理运用归纳假设，即以“ 命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当 时命题成立”。

3.数学归纳法的应用

3.1数学归纳法证明恒等式

例1、用数学归纳法证明 。

证明：（1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立。

（2）假设 时，等式成立，即

。

当 时，

所以 时，等式也成立。

综上（1），（2）可知，等式对任意的 都成立。

点评：用数学归纳法证明恒等式：（1）第一步是验证 取第一个值时等式是否成立，是奠基。第二步在假设 时，一定要写出对应的表达式，证明 时，一定要用到归纳假设。（2）第二步证明的关键要看左右两边的项和证明的目标，合理利用“一‘凑假设，二‘凑结论”的证明技巧。

3.2用数学归纳法证明整除问题

例2、用数学归纳法证明： 对任意的 都能被17整除。

证明：（1）当 时， ，能被17整除，所以命题成立。

（2）假设 时， 能被17整除。

当 时，

=

所以 时，命题也成立。

综上（1），（2）可知， 对任意的 都能被17整除。

3.3用数学归纳法证明几何问题

例3、证明凸 边形的对角线条数为 。

证明：1）当 时， ，四边形有两条对角线，命题成立。

（2）假设 时，命题成立，即凸 边形的对角线条数为 。当 时，凸 边形是在凸 边形的基础上增加了一条边，增加了一个顶点，这个顶点与它不相邻的 顶点构成 条对角线，再加与它相邻的两个顶点构成的一条对角线，所以凸 边形的对角线条数为

，

所以 时，命题也成立。

综上（1），（2）可知， 对任意的 命题成立。

3.4用数学归纳法证明不等式

例4、证明贝努利不等式：（人教版选修4-5，不等式选讲第51页）

如果 为大于1的自然数，那么有 。（证明略）

例5、用数学归纳法证明：对任意的 ，不等式 都成立。

证明：（1）当 时， ，命题成立。

（2）假设 时命题成，即 。

当 时，

。

所以 时，命题也成立。

综上（1），（2）可知，对任意的 ， 成立。

点评：用数学归纳法证明不等式时，对 时是整个证明的难点和关键，证明时要分离出该命题中可以使用归纳假设的部分。放缩法作为不等式证明的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，常被使用。

3.5用数学归纳法解决数列问题

例6、（2012.北京海淀模拟）数列 满足 。

1） 计算 的值，并由此猜想通项公式 ；

2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。

解： （1） ， 。

（2）用数学归纳法证明猜想。

证明：1）当 时， ，结论成立。

2）假设 ，结论成立，即 。

当 时，

所以 ，即

，

即 时，结论也成立。

由1），2）知猜想 成立。

点评：先计算出数列的前几项，用不完全归纳法得到通项公式的猜想，再用数学归纳法给出证明，这是解决数列问题的一般思路，即“观察——归纳猜想——证明”。“先猜后证”解与正整数有关的问题时，有时候如果最初的两三个初始时不能发现规律，要多举几项显示其规律，要敢于猜想、善于猜想，做出科学的猜想和判断。

数学归纳法是专门证明与正整数有关的的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，证明分两步，第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”，第二步解决的是延续性问题，称为“归纳递推”，两个步骤缺一不可。运用数学归纳法可以证明许多数学问题，既可以开阔眼界，又可以受到推理训练，数学归纳法的出现，使人们的认识“从有限到无限的飞跃”（华罗庚语）。当然，并不是所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法来证明，应该具体问题具体分析。

【参考文献】

[1]刘绍学，普通高中教科书数学选修4-5不等式选讲，北京，人民教育出版社，2012.4

[2]朱丽，尖子生学案-高中数学2-2，长春，吉林人民出版社，2009.4

[3]薛金星，中学教材全解-高中数学4-5，西安，陕西人民教育出版社，2010.3

[4]数学归纳法及应用，百度文库，2013.7（引用）

[5]数学归纳法经典例题，百度文科，2013.7（引用）