高中数学章头图和引言的教学实践与探讨

冯霞

【摘    要】如何重新认识引言在教材中的地位和作用，充分开发其潜在的课程资源，不但能促进教师提高宏观认识、把握和驾驭教材的能力，而且对激发学生的学习动机，养成科学探究、敢于质疑及应用数学的意识，都具有极其重要的意义。为了解决这些问题，我们有必要探讨引言教学的重要作用及其在教學中应注意的一些问题。

【关键词】高中数学  引言  章头图

中图分类号：G4    文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.03.105

高中《数学》的教材中，每章配有优美的章头图和诗一般的引言和富有哲理的数学家名言，作为全章内容的引入，使学生初步了解该章学习目标和学习的必要性，以激发学生的求知欲。然而，在实际教学活动中，有些教师对引言的作用认识不够，讲课时轻描淡写，一带而过，或干脆省略不讲，有些是由于教师缺乏相关的背景资料，导致引言课就事论事，沉闷乏味。如何重新认识引言在教材中的地位和作用，充分开发其潜在的课程资源，不但能促进教师提高宏观认识、把握和驾驭教材的能力，而且对激发学生的学习动机，养成科学探究、敢于质疑及应用数学的意识，都具有极其重要的意义。为了解决这些问题，我们有必要探讨引言教学的重要作用及其在教学中应注意的一些问题。

一、章头图和引言的教学功能

（一）帮助学生了解本章学习的内容、地位和作用

一方面，就整体而言，章头图和引言对该章内容起了很好的导入作用。它向学习者简明扼要并全面地展示了所需学习的主要内容及知识点，更为重要的是，它紧密联系学生已学习的知识内容，促使学生将所学习的知识点编织成一个环环相连的网络。另一方面，在教学中我们所讲的每一个数学问题都应服从于教学目标，教学过程都应围绕教学目标进行，所以，教学一开始就让学生了解教学目标是很必要的，这样可以减少学生在学习过程中的盲目性，做到心中有数。新教材中的章头图和引言恰好可以帮助学生了解本章学习的内容、地位和作用。比如：“集合”的章头图呈现了茫茫的草原上，一群大象在悠闲地走动的场景，可以让学生感受到“同一类对象汇集在一起”，这就是本章要学习的“集合”，以及集合在实际生活中无处不在;而后面的章引言给出了学习集合的三个方面内容：集合的含义、集合间的关系和集合的运算。

（二）唤起并激励学生学习的兴趣和激情

教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。人们对自己感兴趣的事物总是力求探索它，认识它;兴趣是一个人力求认识并趋向某种事物特有的意向，是个体主观能动性的一种体现。章头图和引言能够最大程度地唤起并激励学生学习新知识点的兴趣和激情，是因为其总是以生动形象的画面表现出来。这样的画面紧密结合学生的生活经验和知识背景，学生对之十分熟悉因而甚感兴趣。人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。章头图和引言使教育者因势利导，在授课中就地取“材”，借助教材中的“第一手资料”，培养学生浓厚的学习兴趣，使其积极振奋地投入到新知识的学习之中。

（三）培养学生应用数学知识解决实际问题的意识

传统的数学教学往往忽视与现实生活的联系，新教材中的章头图和引言注重从实际生活出发，贴近生活，把社会生活中的广为学生熟悉的题材引入到数学的大课堂之中，善于选择与学生生活背景有关的素材与情境，说明本章内容的现实背景。例如：“平面向量”的章头图和引言借助四架表演中的飞机、物理中的位移、速度和力这样的量，让学生明白还有一种有别于数量的量，其具有既有大小又有方向的特征，在此基础上引出该章节内容——向量，真正体现出了“数学源于生活又服务于生活”的特点，向学生展现了数学在现实生活中的巨大的无可替代的作用，从而激发学生学以致用的热情，培养学生应用数学知识解决实际问题的意识。

二、章头图和引言常用的几种处理方法

（一）先建立一些概念，再介绍章引言

因章引言内容涉及一些尚未学习的概念，因此，第一课时教学时可以建立一些必要的概念，并由此引发本章学习内容的话题。以《数学2-3》（选修）中的“随机变量及其分布”为例。先让学生了解随机变量概念产生的必要性──为了用数学的方法研究随机现象，把随机试验的结果用一个数字来表示，即在随机试验的结果构成的集合与实数集合之间建立映射，把随机试验的结果数学化。这样一来，随机试验的结果发生的概率就与数学化之后的实数建立了一种函数关系，就可以运用数学的方法来研究随机现象。当学生明白了这一逻辑关系之后，再介绍章引言中的内容“把随机试验的结果数量化，用随机变量表示随机试验的结果，就可以利用数学工具来研究所感兴趣的随机现象。”在本章中，我们将在必修课学习的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等知识，利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决问题的特点。甚至再介绍“章头图”中道尔顿板所说明问题的含义以及“在自然现象、生产和生活实际中，很多随机变量服从或近似地服从正态分布。”这样做的目的是尽量让学生能够听懂老师在说什么，将来我们可能要研究哪些问题，学习什么方面的知识。在教学中，教师应该追求自然的过程，符合学生的心理特点、接受能力，减少突兀。绝不能让学生感到莫名其妙、丈二和尚摸不着头脑。

（二）通过类比，引入章引言

通过与其他内容学习过程的类比介绍章引言，提出本章学习的任务。必修的“平面向量”在学生建立了向量的概念、与实数类比发现向量这个集合中有两个特殊的元素──零向量、单位向量之后，一个自然的问题就是，实数集合有运算、运算律等，这时再提出平面向量这一章要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法。“向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决解析几何问题的有力工具。向量引入之后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理……，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。”这样的介绍使得学生能够基本了解今后还要学习向量的哪些内容和方法，并了解学习向量的重要意义，对整章学习具有引领作用。“不等式”的章引言的教学要好处理一些，与等式的类比是比较好的办法。“与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在……”，“在本章，我们将学习一些不等式的性质，……理解不等式（组），体会不等关系和不等式的意义与价值……通过基本不等式了解不等式的证明，解决一些简单的最大（小）值的问题;通过不等式与函数、方程的联系，提高对数学各部分之间的联系的认识。”这里几乎没有什么是会让学生感到突然的。通过类比引入章引言的还有必修的“圆与方程”。这是因为前一章学习的是“直线与方程”。类似地，我们将“在直角坐标系中建立圆的方程。通过圆的方程，研究直线与圆，圆与圆的位置关系。”，“在直角坐标系中，建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是几何问题的重要方法。”再一次体验坐标法的思想。即便提出“另外，我们还要学习空间直角坐标系的有关知识。”也不难理解。

（三）借助已有的知识储备，上好绪论课

解析几何的起始课，可以给学生介绍坐标法产生的历史，渗透数学文化。我国数学家吴文俊发明了用机器证明几何定理的理论，“z+z智能教育平台”软件实现了这一方法，可以用计算机来证明几何定理。计算机是通过什么途径来证明几何定理的呢？你知道微积分产生的基础是什么嗎？这一切都要归功于一个人，这个人就是法国科学家笛卡尔（descartes，1596-1650）。笛卡尔在1637年发明了直角坐标系，把几何中的点M与代数中的数对（x，y）建立了─ ─对应关系。当点M在平面上规则运动形成曲线时，x，y就形成相应的约束关系，这就是方程，这样，在曲线与方程之间又形成了─ ─对应。于是，我们就可以通过对方程，这个代数对象的研究来达到研究曲线，这个几何对象的目的。这就是坐标法的思想。由这个思想创立了一门科学──解析几何（平面解析几何、空间解析几何）。为了纪念这位伟大的数学家，直角坐标系称为笛卡尔坐标系。恩格斯对笛卡尔的这一发明给予高度评价，恩格斯说“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学;有了变数，辩证法进入了数学;有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”，“本章首先在直角坐标系中，建立直线的方程，然后通过方程，研究直线的有关性质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。”，“解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的。解析几何的创立是数学史上的里程碑，数学从此进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。”这些内容可以在学生学习直线与方程之前做一个较为详细的介绍，利用几何画板阐述曲线与方程之间关系的形成过程;借助多媒体展示笛卡尔、费马的照片，展示解析几何在科学技术、日常生活中应用的图片，使学习兴趣大大增强。在选修2-1中的“圆锥曲线”一章中，可以介绍圆锥曲线的性质在生活中的应用。“圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系。早在16、17世纪之交，开普勒就发现行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆;探照灯反射镜面是抛物线绕其对称轴旋转形成的抛物面，发电厂冷却塔的外形是双曲线……为什么圆锥曲线有如此巨大的作用呢？我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案。”。与圆锥曲线联系还有电影放映机的聚光灯泡的反射镜面（能够给学生看到实物更好）、太阳灶、雷达天线、射电望远镜等等，它们都是利用圆锥曲线的原理制成的。什么是圆锥曲线呢？用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线。我们通常把圆、椭圆、抛物线、统称为圆锥曲线。再借助多媒体软件（如flash）的演示，同学们对为什么这些曲线被称为圆锥曲线就有了大致的了解。这些内容的适时介绍，都会促使同学们怀着对这一章知识渴望的心情进入了学习状态，同时也对这一章将要学习什么有了一个大致的了解──虽然还是那样地朦胧。

（四）由初中内容的螺旋上升，引入章引言

高中数学所教学的内容有一部分在初中曾经学习过，高中的学习是初中学习的一次螺旋上升，比如必修中的“随机抽样”。对于这样的内容可以在回忆初中内容的基础上提出高中所要学习的任务就显得很自然。“我们生活在一个数字化的时代，时刻都在与数据打交道。你知道这些数据是怎么来的吗？实际上它们是通过调查获得的。怎样调查呢？是对考察对象进行全面调查吗？很明显，这既不可能也没必要。我们通常只考察总体中的一个样本，通过样本来了解总体的情况。进一步，在保证样本估计总体达到一定精确度的前提下，样本中包含的个体越少越好。于是，如何设计抽样的方法，使抽取的样本能够真正代表总体，就成为我们要关注的关键问题……”，“那么，怎样从总体中抽取样本呢？如何表示样本数据呢？如何从样本数据中提取基本信息（样本分布、样本数字特征等），来判断总体的情况呢？这些正是本章要解决的问题。”章引言在学生已经了解的有关统计问题知识基础上，自然提出了本章所要研究的问题，画出了“导游图”──科学抽样──采用科学方法，对样本分析获取信息──对总体情况作出判断──预测，等等。逻辑线路很清楚。与统计一章类似的还有函数。“在本章，我们将学习集合的一些基本知识，用集合的语言表示数学对象，并运用集合和对应的语言进一步描述函数概念，感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题。”这些话学生也不会感到太陌生，从中可以感受到进一步学习函数的意义，以及所要学习的大致内容──进一步描述函数概念──建立函数模型──运用函数思想处理问题等等。可以采用这种方法的还有必修“解三角形”这样的章节。“解三角形”是初中“解直角三角形”的一次螺旋上升。初中就已经学习过锐角三角函数的简单应用，研究过与直角三角形有关的测量问题，不可到达地点的距离问题等等。教学中通过一个问题就可以让学生感觉到“这些问题仅用锐角三角函数就不够了”，学习解一般三角形就显得十分必要──“这些内容的解决需要进一步学习任意三角形边与角关系的有关知识。”然后再把本章所要学习的内容作一个简单的介绍。

（五）介绍数学史，进行数学文化的熏陶

在学习“平均变化率”之前，有必要简单介绍微积分的创立过程。因为“平均变化率”概念主要是研究变速运动的瞬时速度──变化率而产生的。促使微积分产生的因素主要有四种类型的问题：第一类问题是，已知物体移动的距离表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度;反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求速度和距离。困难在于，17世纪时，所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。计算瞬时速度就不能像匀速运动时计算平均速度那样，用物体移动的距离去除以运动的时间;同样，反过来，也不能用物体运动的时间乘任意时刻的速度来求得物体移动的距离。第二类问题是求曲线的切线。光学是17世纪的一项较重要的科学研究，其中重要的是，光线同曲线的法线间的夹角问题。而法线与切线垂直，因此，问题在于求出法线或者切线。涉及切线的，还有运动物体在它的轨迹上任一处的运动方向是轨迹在该点的切线方向。研究“两条曲线相交的角度”问题也需要研究切线。而只对圆锥曲线适用的，把切线定义为“和曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”已经不够了。从一般意义上重新讨论曲线的切线问题由法国数学家罗贝瓦尔（roberval）提出。他认为，“曲线是由运动的点生成的”，“是一个动点在两个速度作用下运动的轨迹”，“把切线定义为合速度方向的直线”，这样就“把纯几何与物理联系起来了”。其他两类问题是求函数的最大、最小值问题，以及求曲线长的问题。科学家们在如何求出曲线上某一点处的切线这个问题上想了许多办法。费马（fermat）的办法是“求该点的次切线”。他考虑，要求出曲线在点A处的切线，先考虑与A邻近的一点B，并暂时认为这一点也在曲线上。费马采用了“与求函数的极大、极小值类似的方法”，他的方法“完全依赖于深奥极限理论”。由此可见，微积分的创立主要是由研究变速运动而产生的，是由研究曲线在某点处的切线而产生的。定义平均变化率是为了定义变化率。还必须特别注意的是，科学家们在研究解决这些问题时，运用了一些十分重要的数学思想，“包含了运动，变化和无限”。把一点的问题转化这点附近的问题来研究，静态的问题的动态研究，“以直代曲”，以及无限逼近的（极限）思想。以上内容的介绍展现了微积分发展的历程，对提高学习兴趣，进入平均变化率、导数的学习都有很好的激励作用。也对今后利用导数要研究哪些问题有了一个基本的了解。尤其是渗透了一些重要的数学思想。使得“学生通过数学文化的学习，了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律;了解人类从数学的角度认识客观世界的过程;发展求知、求实、勇于探索的情感和态度;体会数学的系统性、严密性、应用的广泛性，了解数学真理的相对性;提高学习数学的兴趣。”

三、结束语

本文仅仅对章头图和引言的教学提出了一些抛砖引玉的见解，主要目的是希望引起同行们的重视。只要大家重视起来，并认真加以研究，相信解决问题的办法一定更多、更好。