基于基本变换方式关系的全等形变换方式关系初探

郑启昌

【摘要】本文主要从全等形的四种常见的变换入手，由其定义、特征展开，从而探究各种变换对图形大小、形状及空间位置的变化规律，从相对位置的变化特点来分析各种变换间互相转换的可能性，通过作图验证、解析证明它们相互转化的关系；并从中确定了基本变换是对称，即轴对称和中心对称.通过对全等形变换方式间关系及基本变换的研究旨在为数学教学与研究提供参考.

【关键词】全等形变换；变换关系；基本变换；轴对称；中心对称

1.几种常见的全等形变换方式及其区别和联系

1.1 常见的全等形变换方式包括轴对称、平移、旋转和中心对称.

1.2 四种全等形变换方式的区别和联系

1.2.1 联系：变换都不改变图形的形状和大小，而且每一种变换都具互逆性，变换2次又与原来一样或只有平面位置的改变.

1.2.2 区别：变换方式不同，导致在位置上有不同的变换结果，自身各部分间的相对位置发生改变.

2.四种全等形变换方式间的代换关系的探究

2.1 问题的引出

四种全等形变换方式都不能从本质上改变图形的形状、大小，这样它们之间必有一定的亲缘关系，一个能用另一个代换？一个能用几个代换？是否能互相代换？是单向的还是双向的？全等形作图可以归根于哪些基本变换作图？具体可化为以下几个类似的小问题.

1次平移相当于几次轴对称？1次轴对称相当于几次平移？1次旋转相当于几次轴对称？1次轴对称相当于几次旋转？1次中心对称相当于几次轴对称？1次轴对称相当于几次中心对称？1次平移相当于几次中心对称？1次中心对称相当于几次平移？1次旋转相当于几次中心对称？1次中心对称相当于几次旋转？1次旋转相当于几次平移？1次平移相当于几次旋转？1种变换还可以用几种其他的变换代换？以上各小问题的最佳次数？全等形的基本变换存在？是什么？相似形？位似变换？

2.2 猜想

对称（即轴对称和中心对称）是全等形变换的基本变换，所有的全等形变换都可以用1次或2次的同类对称代换.

2.3 分析

全等形变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的平面位置和自身各部分间的相对位置.因此，只要从全等形变换是否改变图形自身各部分间的相对位置，就可以推出全等形变换的方式.

2.4 验证

对以上代换的可能性用原理与几何作图、代数解析来证明.

2.4.1 简单原理与代换的可能性

（1）图形在变换后图形上的每个点在平面位置上变化是显然的.

（2）若在原图形贴上方位坐标架，图形变换后自身各部分间的相对位置显然是不变的，就如世界各地不会因地球的运动发生错位，而是保持着不变的经纬位置.同样平移、旋转、中心对称也不会改变相对位置，只有轴对称会改变相对位置（与对称轴平行的方向不变，而与对称轴垂直的方向恰完全相反）.

（3）平移始终不改变自身各部分间的相对位置，特别是整体位置相对不变.这样其他的变换用平移代换是不可能的.

（4）轴对称偶数次时不改变自身各部分间的相对位置，而在奇数次时改变.

①其他的变换用奇数次轴对称代换是不可能的，而用偶数次轴对称代换是有可能的；

②轴对称用其他的变换来代换是不可能的.

（5）平移用偶数次中心对称代换有可能.

（6）旋转用数次中心对称代换是不可能的，因为旋转会改变对应线段的成角，而中心对称不会改变对应线段的成角.

2.4.2 作图证明与坐标证明

作图证明的说明：由于图形自身各部分间的相对位置至少要具2个以上的方位来描述，因此三角形最具代表性，这样点和线段就为其特殊情况，而多边形和含曲线的图形就是三角形的引申和推广.

3.各种全等形变换关系图（如图4）

图 4图中箭号→表示“可看作、相当于”，其上数字表示变换次数，如“轴对称2平移”表示 “1次平移变换相当于2次轴对称变换”.

4.推广引申

根据章士藻的《关于对称曲线与曲面方程的几个定理》可将以上研究的图形由三角形扩展到一般平面图形再到空间曲面图形，以下的结论也是成立的.

（1）1次平移相当于2次轴对称

（2）1次旋转相当于2次轴对称

（3）1次中心对称相当于2次轴对称

（4）1次平移相当于2次中心对称

（5）1次中心对称相当于1次旋转

全等形变换的基本变换是对称（即轴对称和中心对称）.

所有的1次全等形变换可用1次或2次的对称（即轴对称和中心对称）来代换.

相似变换、位似变换的基本变换是相似变换和对称（即轴对称和中心对称）.所有的1次相似变换、位似变换可用1次或2次的对称（即轴对称和中心对称）和1次的相似变换来代换.

5.结 语

在中学数学教学中，只对平面内全等形及其变换方式作了初步、简要的学习和应用，而对各种变换间的关系理解与应用也只停留在对它们的单一的定义、性质、作图的简单比较与应用上，涉及全等形变换方式间的代换关系的内容研究甚少，本文对全等形变换方式及其之间的关系进行了一点研究，并推广得出图形变换的规律，当中用的“简单原理”、研究方法，仅供参考使用，盼望有抛砖引玉之效.

【参考文献】

章士藻.关于对称曲线与曲面方程的几个定理.数学通讯，1984（11）.