利用导数研究函数的极值（最值）问题

窦本旺

【摘要】函数的导数，作为一种工具，被引入到我们的新教材中.它的一个重要的作用就是求函数的极值（最值），但是在利用它求极值（最值）时，往往有很多的误区，现总结如下.

【关键词】导数；函数；极值

一、记牢基础知识

（1）若在x0附近左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则f（x0）为函数f（x）的极大值；若在x0附近左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则f（x0）为函数f（x）的极小值.

（2）设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.

二、领悟经典例题

例 （2013·福建高考节选）已知函数f（x）=x-1+a[]ex（a∈R，e为自然对数的底数）.

从而g（x）的取值范围为-1[]e，+∞.

所以当1[]k-1∈-∞，-1[]e时，方程（*）无实数解，

解得k的取值范围是（1-e，1）.

综合①②，得k的最大值为1.

三、方法与技巧总结

（1）求函数y=f（x）在某个区间上的极值的步骤：

第一步：求导数f′（x）；

第二步：求方程f′（x）=0的根x0；

第三步：检查f′（x）在x=x0左右的符号.

①左正右负f（x）在x=x0处取极大值；

②左负右正f（x）在x=x0处取极小值.

（2）求函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：

第一步：求函数y=f（x）在区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）；

第二步：将y=f（x）的各极值与f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

四、利用方法与技巧一试身手

已知函数f（x）=ax-2[]x-3lnx，其中a为常数.

（1）当函数f（x）的图像在点2[]3，f2[]3处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在2[]3，3上的最小值；

（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上既有极大值又有极小值，求a的取值范围.

解 （1）f′（x）=a+2[]x2-3[]x，

由题意可知f′2[]3=1，解得a=1.

故f（x）=x-2[]x-3lnx.∴f′（x）=（x-1）（x-2）[]x2，

由f′（x）=0，得x=2.

于是可得下表：

解得0

故a的取值范围为0，9[]8.