含有参数的绝对值不等式解法举例

马俊杰

题型一

普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修4-5）——《不等式选讲》第20页的第9题是：

如果关于x的不等式︱x-3︱+︱x-4︱

解法一 当x≤3时，解得x>7-a2.

当31.

当x≥4时，解得x<7+a2.

要使原不等式的解集不是空集，只需使7-a2<3，即a>1或7+a2>4，即a>1.

综上所述：a>1.

解法二 令f（x）=|x-3|+|x-4|，即

f（x）= -2x+7，x≤3， 1，3

作出函数的图像（如图），它是分段线段函数.

由图像可知，当a>1时，原不等式有解.

解法三 由绝对值三角不等式可知：

︱x-3︱+︱x-4︱=︱x-3︱+︱4-x︱≥︱（x-3）+（4-x）︱=1.

要使︱x-3︱+︱x-4︱1.

本题还可以做以下变式：

︱x-4︱+︱x-3︱

变式1：若关于x的不等式︱x-4︱+︱x-3︱>a恒成立，求参数a的取值范围.

解 令f（x）=︱x-4︱+︱x-3︱.

因为︱x-4︱+︱x-3︱≥1，

所以fmin（x）=1.

若要使原不等式恒成立，只需使fmin（x）>a即可.

即a<1.

变式2：若关于x的不等式︱x-4︱+︱x-3︱

令f（x）=︱x-4︱+︱x-3︱，则fmin（x）=1.

若要使原不等式的解集为，只需使fmin（x）>a.

变式3：若关于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱>a有解，求参数a的取值范围（a<1，解略）.

变式4：若关于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱1，解略）.

变式5：若关于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱>a的解集为，求参数a的取值范围（a≥1，解略）.

题型二

︱x2+2x-3︱>a.

当a<0时，得x∈R， ①

当a≥0时，得x2+2x-3>0或x2+2x-3<-a.②

由①得 x>-1+4+a或x<-1-4+a.

由②得（x+1）2<4-a.

此时分类可知，若0≤a<4，解得-1-4-a

若a≥4，此不等式无解.

综上，当a<0时，原不等式解集为R；

当0≤a<4时，原不等式解集为{x︱x>-1+4+a或x<-1-4+a或-1-4-a

当a≥4时，原不等式解集为{x︱x>-1+4+a或x<-1-4+a}.