浅谈“化归与转化思想”在高中数学解题中的应用

安宝琴

【摘要】解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题，即就是说，转化成对自己较熟悉的问题.通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.本文简要谈一谈这种数学思想在高中数学解题中的应用.

【关键词】化归与转化思想；高中数学解题；应用

1.应用“化归与转化思想”的基本原则

化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证.因此，化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

2.例题分析

例1 如果三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h.求证：三棱锥P-ABC的体积V=16l2h.

分析 如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求.如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境.

解 如图，连接EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD.这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE，AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以

VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=13S△ECD·AE+13S△ECD·PE=13S△ECD ·PA=13·12BC·ED·PA=V=16l2h.

评注 辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解.

例2 在（x2+3x+2）5的展开式中x的系数为（ ）.

A.160 B.240 C.360 D.800

分析与解 本题要求（x2+3x+2）5展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用上述两种思路进行转化：

思路1 直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则（x2+3x+2）5展开式是一个关于x的10次多项式，（x2+3x+2）5=（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2），它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为C15·（3x）·C44·24=5×3×16x=240x，所以应选B.

思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算.∵x2+3x+2=x2+ （3x+2）=（x2+2）+3x=（x2+3x）+2=（x+1）（x+2）=（1+x）（2+x），∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.①如利用x2+3x+2=x2+（3x+2）转化，可以发现只有C55（3x+2）5中会有x项，即C45（3x）·24=240x，故选B；②如利用x2+3x+2=（x2+2）+3x进行转化，则只C15 （x2+2）4·3x中含有x一次项，即C15·3x·C44·24=240x；③如利用x2+3x+2=（x2+3x）+2进行转化，就只有C45·（x2+3x）·24中会有x项，即240x；④如选择x2+3x+2=（1+x）（2+x）进行转化，（x2+3x+2）5=（1+x）5×（2+x）5展开式中的一次项x只能由（1+x）5中的一次项乘以（2+x）5展开式中的常数项加上（2+x）5展开式中的一次项乘以（1+x）5展开式中的常数项后得到，即为C15x·C5525+C15·24·x·C05·15=160x+80x=240x，故选B.

评注 化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知.

总之，熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.从这个意义说，“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙.