浅析“椭圆和双曲线”的离心率问题

张惜招

圆锥曲线的离心率，是描述曲线形状的重要参数，也是描述圆锥曲线特性的一个重要概念.很多解析几何试题都与此相关，是各级训练及测试的热点.近十年高考试题中也常出现有关求解离心率的问题，主要有求离心率的值和离心率的取值范围.本文就椭圆和双曲线的离心率的有关结论与求解方法等，作一些介绍和归纳，供同行们参考.

一、离心率的有关结论

1.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，设F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上任一点.

（1）若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则e=cosα+β2[]cosα-β2；

（2）若PF1⊥PF2，且OP与x轴的夹角为θ，则e=11+sinθ.

2.双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中，设F1，F2为其两个焦点，P为双曲线上任一点.

（1）若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，则e=sinα+β2[]sinα-β2；

（2）若PF1⊥PF2，且OP与x轴的夹角为θ，则e=11-sinθ.

二、离心率的计算方法

1.求椭圆或双曲线的离心率的值

（1）利用方程思想即建立关于a，b，c之间的等式或关于e的方程来求解，其方法是把b2=a2-c2或b2=c2-a2代入后，等式两边同时除以a2将得到关于e的方程.

例1 已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），过点A（a，0），B（0，b）的直线为l，原点O到直线l的距离为c（c为双曲线的半焦距），求双曲线离心率.

解 由三角形面积公式得到：AB·d=OA·OBc2=abc4=a2（c2-a2）e4-e2+1=0.

例2 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，B（0，b），B′（0，-b），A（a，0），F为椭圆的右焦点，若直线AB⊥B′F，求椭圆的离心率.

解 kB′F·kAB=-1bc×ba=1b2=aca2-c2-ac=0e2+e-1=0.

（2）直接利用定义即根据焦点弦和其他已知量的位置和数量关系列出关于a和c的等式，再用e=ca求解.

例3 过双曲线x2a2-y2b2=1右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是其左焦点，若∠PF1Q=60°，求其离心率.

解 依题意得：|PF2|=|F1F2|tan30°=233c，又|PF1|=2|PF2|=433c，∴233c=2a，即e=3.

例4 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，求椭圆的离心率.

解 依题意得：c=acos30°e=ca=32.

2.求椭圆或双曲线的离心率的取值范围

（1）建立关于a，b，c或关于e的代数不等式，其方法是把b2=a2-c2或b2=c2-a2代入后，同时除以a2将得到一个关于e的不等式，其手段主要有：

①利用点与曲线的位置关系，根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式.

例5 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），短轴顶点B（0，b），若椭圆内接三角形BCD的重心是椭圆的左焦点，求椭圆离心率范围.

解 设C（x1，y1），D（x2，y2），且已知B（0，b），F（-c，0），由重心公式得x1+x2=-3c，y1+y2=-b，故弦CD中点为E-3c2，-b2.由E在椭圆内部，则-3c22a2+-b22b2<1，整理化简得e2<13，从而e∈0，33.

②利用点在曲线上的位置关系，根据此点的横、纵坐标必须满足的条件，列出不等式.

例6 已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为8a，求双曲线的离心率e的取值范围.

解 设点P坐标为（x0，y0），依题意得：|PF2|2|PF1|=（2a+PF1）2PF1=PF1+4a2PF1+4a≥4a+4a=8a，此时PF21=4a2，PF1=-ex0-a，得到x0=-3ae，又x0≤-a代入得到1

③用均值不等式变形建立不等式，即先根据题设条件建立等式，再根据均值不等式转化为不等式，建立关于a，c的不等式.

例7 设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点为F1，F2，问离心率e在什么范围内取值时，椭圆上恒存在点P，使∠F1PF2=120°？

解 设椭圆的焦距为2c，即|F1F2|=2c，由椭圆的定义，知|PF1|+|PF2|=2a.在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosF1PF2，∴（2c）2=（2a）2-|PF1|·|PF2|.∴4a2-4c2=|PF1|·|PF2|≤|PF1|·|PF2|22=a2，即3a2≤4c2，所以32≤e<1.

④利用两曲线的位置关系，建立不等式.

例8 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）和圆x2+y2=b2+c2（c是椭圆的半焦距）有四个不同的交点，求椭圆离心率的范围.

解 因为椭圆和圆有四个不同的交点，所以b55.由第二个不等式得b24<（a-c）2，整理得3a2-8ac+5c2>0，即5e2-8e+3>0，解得e<35或e>1（舍去），即55e<35.

⑤利用直线与曲线的位置关系，建立不等式.

例9 过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点F作双曲线的斜率为正的渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支均相交，求双曲线离心率的取值范围.

解 依题意得l：y=-ab（x-c），由图形得到kl>-ba（渐近线的斜率），即-ab>-baa22.

（2）建立关于θ为自变量的三角不等式，其方法是利用参数方程和有关定理、三角函数的公式、性质等得到e的取值范围.

例10 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）与x轴的正半轴交于A点，如果在这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP，O为原点，求离心率e的范围.

解 椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程为x=acosθy=bsinθ，（θ为参数），依题意知，θ≠0且θ≠π.设P（acosθ，bsinθ），依题意得kOP·kAP=-1，即bsinθacosθ·-bsinθa-acosθ=-1.

∴b2sin2θ=a2cosθ-a2cos2θ.∴b2a2=cosθ1+cosθ<12.

∴a2-c2a2<12，即1-e2<12.∴e2>22.∴22

例11 F1，F2为双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A，B，若△ABF2为钝角三角形，求双曲线离心率的取值范围.

解 设∠AF2F1=θ，则tanθ>1时为钝角三角形.

即AF1|F1F2|=b22ac>1b2>2ac-a2+c2-2ac>0e2-2e-1>0e>1+2.

总之，求解圆锥曲线（椭圆与双曲线）的离心率的值与取值范围，只要把握其本质属性，从不同的位置特征，剖析其三个变量的数量关系，就一定能转化为含离心率的方程与不等式，从而轻松解决相应的数学问题，培养数学的化归与转化思想.