巧用画板工具促使情境问题数学化

李日松

《普通高中数学课程标准（实验）》在“课程的基本理念”中倡导创设体现数学文化、积极主动、勇于探索的学习方式，而画板工具与数学知识的整合使学生在“玩中学数学”成为可能.

为了解当前高中数学情境性问题的现状，特设计调查问卷，受测对象为一级达标校普通班学生，样本容量为50人.通过数据分析，64%认为老师在教学过程中偶尔使用或者一般不用问题情境来辅助教学.对“知识的记忆是否依托于情境”有80%认为与教师授课时引用的情境有关.在“教师讲述的情境属于哪种类型”中，30%认为是模拟型情境，而学生对此并不是很感兴趣；32%认为因为进度问题教师给出的是纯数学例题；真正与学生现实生活相关的只占27%.究其原因，主要是教师本身对此类知识的匮乏.

画板工具对情境创设的必要性可从两个方面来看：从数学本质上看，数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学.数学理论是通过人们自身数学活动，从已有数学对象及关系出发而产生的，但数学的抽象性成为数学难学的一个重要因素，而数与形是研究问题的两个侧面，把数量关系与空间形式结合起来去分析、解决问题从而易于学生理解掌握.从数学教学本质看，数学教学是以学生已有知识和经验为基础的主动建构的过程.教师的任务是对数学知识建构进行设计和组织，把书本的内容转变为具有探索性的数学问题，并将这些问题置于学生的“最近发展区”，而画板工具即可为情境问题数学化创造舞台.

下面结合四个教学案例来具体呈现画板工具在高中数学人教版A版必修2创设情境中的应用：

1.巧用几何画板“轨迹”按钮，探究数学概念本质

案例1 习题4.2 A组4题：求圆心在直线x-y-4=0，并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0交点的圆的方程.

此题传统方法是先求两圆交点，再利用弦的中垂线过圆心与已知直线方程联立求出圆心坐标，进而求出圆的方程.如何让学生理解圆系方程呢？为了突出圆系方程的一般性，利用画板工具构造两个相交圆，两圆的一般方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0及x2+y2+D2x+E2y+F2=0，通过几何画板教师可以现场操作：分别画出以-D12，-E12为圆心、D21+E21-4F12为半径及以-D22，-E22为圆心、D22+E22-4F22为半径做圆.根据恒过两圆交点（定点）的圆，其圆心必在弦的中垂线上，并以中垂线上任意一点为圆心、定点为半径做圆，追踪圆的轨迹拖动圆心，就可以得出上图所示的

定点的一些列圆.学生不禁感叹圆系方程的美，教师因势利导给出圆系方程的一般形式，学生在探究中真正把握了圆系方程的本质.教师还可引导学生思考λ=-1时，观察分析求出的直线方程与相交圆公共弦的关系，体现了数形结合的思想，充分体现了以学生为主体、教师为主导的课堂教学原则.

2.善用几何画板“动画”按钮，突破数学难点

案例2 习题4.2 B组3题：已知圆x2+y2=4，直线

l：y=x+b，当b为何值时，圆x2+y2=4上恰好有三个点到

直线l的距离都等于1？

此题直接求解并不容易，利用几何画板创设该题的问

题情境：分别构造两条直线l1：y=x+b+1及l2：y=x+b-1，将三条

直线随着b的变化分别平移探究l1和l2与圆的交点之和，从

整个平移过程知b有两解，再利用方程组联立即可求解.

教师引导学生探究平移过程l1，l2与圆相交的几何意义，充分培养了学生的分类讨论、数学结合及转化思想.

3.善用英壬画板空间旋转，多角度呈现空间立体

案例3 直线与直线的位置关系中异面直线的定义.

按照异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条

直线叫作异面直线.由于观察角度的限制很多学生对异面

直线很难理解，应用英壬画板通过旋转空间，让学生从不同角度感受、体会异面直线，从活动中培养学生的空间想象能力.

对于高中数学来说，由于高中教学进度的现状使得教师走向了两极化：一方面，在大多数课堂中缺少情境，每堂课都从抽象的概念出发，使得学生学习数学的兴趣日益下降，班级数学成绩成两极化；另一方面，教师在课堂中虽引用了情境但情境为“一次性消费”，对数学知识的本质并没有给出很好的过渡，即由“现实世界”向“数学世界”（特莱弗斯称之为“横向数学化”）进而向“数学体系”（ 特莱弗斯称之为“纵向数学化”）过渡时存在“断层”.现实数学教育的出发点是将情境性问题作为学生再创造的依托，而有指导的再创造能为学生提供一种跨越非形式知识和形式数学知识间鸿沟的方法，帮助学生逐渐掌握形式数学.在利用画板工具辅助教学时，不可避免涉及多媒体辅助教学与传统教学的冲突问题.本人觉得两者是可以和谐存在的，但需注意以下几点：

1.因课而异，合理选择软件

在平面领域几何画板及GGB软件是这方面的“巅峰之作”，而空间几何则是英壬画板的长项，对于概率中的图形等Office办公软件、GGB即可完成.但对于学生必须要掌握的解题、画图步骤等知识（如平面的画法），还需教师亲自板书、画图.

2.充分发挥学生主体、教师主导作用

画板工具辅助教学不应只是教师展示多媒体的过程，如果条件合适完全可以让学生在教师引导下，通过学生上台改变画板工具的自变量进行自主探究，这也是画板工具与传统PPT课件最大的区别.

3.因学生而异，合理修饰课件

课件选择、制作需因学生、班级而异，根据学生认知水平的差异，合理引用情境，合理装饰课件.

4.加强画板工具培训、共享、交流，减少教师备课工作量

目前尽管PPT及随书课件的资源很多，但由画板工具生成的备课资源还较少，并且供交流的平台也不多，而初次利用画板工具设计教案费时费力，这也是限制广大中学教师运用画板工具的瓶颈.因此，加强画板工具的培训、共享、交流摆在当前现实的位置.

画板工具作为数学多媒体辅助教学的重要部分，受到越来越多中学教师的关注，在实际教学中合理、适当选择画板工具并与传统认知工具相补充、结合变得越来越重要.只要把握好多媒体辅助教学的“度”，完全可以在数学化的情境中学习数学，让学生感到“数学好玩”.

【参考文献】

[]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2]徐斌艳.“现实数学教育”中基于情境性问题的教学模式分析[J].外国教育资料，2000（4）.

[3]张小兵.几何画板创设数学情境的研究[D].江苏：南京师范大学，2005.