回避分类讨论提高解题速度

华腾飞

分类讨论有时会导致解题过程的繁琐化，为此我们在重视分类讨论的思想方法应用的基础上，也要注意克服动辄加以讨论的思维定势，对于蕴含着分类讨论因素的数学问题，应当首先作一番深入的探究，根据题目条件的特征，灵活选用一定的解题策略，充分挖掘数学问题中潜在的特殊性，尽力打破常规，尽量简化或避免不必要的讨论，从而提高解题速度.下面通过举例分析，谈谈如何避免分类讨论的几种优化策略.

深挖隐含，避免讨论

例1 解方程组[|x2-2|+|y-2|=6， ①|x2-2|=2y-4. ②]

分析 若按常规解法应根据绝对值的定义，分类讨论绝对值内式子的符号来解方程组，非常繁琐.如果注意到②式隐含的重要的信息：[y-2≥0]，利用这个隐含条件，则可以避免分类讨论.

解 原方程组可化为[|x2-2|+y-2=6，|x2-2|=2y-4，]

消去[|x2-2|]得[y=4]，

∴[x2-2=±4]， 解得[x=+6].

因此原方程组的解为[x=6，y=4，]或[x=-6，y=4.]

消除参数，免除讨论

例2 设[00]且[a≠1]，试比较[|loga（1-x）|]与[|loga（1+x）|]的大小.

分析 由于[a]是讨论的因素，如果能消除[a]，则可以免除讨论.为此作商，再利用换底公式收效明显.

解 ∵[|loga（1-x）||loga（1+x）|=|log（1+x）（1-x）|=-log（1+x）（1-x）]

[=log（1+x）11-x>log（1+x）（1+x）=1]，

∴[|loga（1-x）|>|loga（1+x）|].

反客为主，规避讨论

例3 设对所有的实数[x]，不等式[x2log24（a+1）a]+ [2xlog22aa+1]+[log2（a+1）24a2]>0恒成立，求实数[a]的取值范围.

分析 若根据二次不等式恒成立的条件列式计算，不可避免地要进行分类讨论.

解 如果变换视角，把[a]视为主元，把不等式变形为：[3x2+（x2-2x+2）log2a+12a>0].

∵[x2-2x+2=（x-1）2+1>0]，

∴log2[a+12a]>-[3x2（x-1）2+1].

又[-3x2（x-1）2+1]<0恒成立，

∴只须log2[a+12a]>0，即[a+12a]> 1，进而求得[0

反面考虑，简化讨论

例4 如果二次函数[y=mx2+（m-3）x+1]的图象与[x]轴的交点至少有一个在原点右侧，试求[m]的取值范围.

分析 从正面求解，需要分四种情况讨论，运算量大. 若从反面考虑，即考虑两个交点都在原点左侧时[m]的取值范围.

解 由一元二次方程[mx2+（m-3）x+1=0]有两负根得：

[△=（m-3）2-4m≥0，3-mm<0，1m>0，]

解得[m≥9]， 其反面为[m<9].

再考虑△≥0与[m]≠0的条件，可得[m]≤1且[m]≠0.

巧用公式，去除讨论

例5 已知[cotα=m]，[α∈（π， 2π）]，求[cosα]的值.

分析 若选用公式[tanα=1cotα]， [cosα=][±11+tan2α]来求，则必须将[α∈（π， 2π）]分成[α∈（π，][3π2]）和α∈（[3π2]， 2π）来讨论[cosα]及[m]的符号. 若根据[α∈（π，2π）]的范围，直接选用恰当的平方关系式，则可有效地避开讨论.

解 ∵[α∈（π， 2π）]，∴[sinα<0].

∴[sinα=-11+cot2α=-11+m2]，

故[cosα=cotα·sinα=-m1+m2].

灵活代换，免于讨论

例6 解不等式[x1+x2+1-x21+x2]>0.

分析 常规解法要先把原不等式等价变形为：[x1+x2>x2-1]，然后再按照[x]的不同取值范围进行分类讨论，这是非常复杂的.如果注意到原不等式的结构特征，采用三角代换，则可免于讨论.

解 令[x=tanθ（-π2<θ<π2]），

则原不等式可化为[tanθ·cosθ+cos2θ>0]，

即[2sin2θ-sinθ-1<0]，解之得：[-12

从而[-π6<θ<π2]， 有[tanθ>-33].

故原不等式的解为[{x|x>-33}].

数形结合，避免讨论

例7 当[x∈[0，2]]时，函数[f（x）=（x-1）log23a-][4log3a+][x-3]的值恒为正，求[a]的取值范围.

分析 对于本题，若按常规解法应用代数的方法进行讨论，比较冗长.若结合图形考虑，则可避免讨论.

解 对函数整理得[f（x）=（1+log23a）x-][（log23a+4log3a][+3）]，显然函数[f（x）]是一次函数，其图象是直线，且直线的斜率为正，如图所示.

欲要证当[x∈[0，2]]时，[f（x）>0]，只须直线与[x]轴的交点在原点左方，即直线在[x]轴上的截距：[ log23a+4log3a+31+log23a]<0，解此不等式得[a]的取值范围为[127

整体化归，回避讨论

例8 函数[y=ax]在[0， 1]上的最大值与最小值的和为3，则[a]= .

分析 此题的常规思维是对底数分[01]两种情况进行讨论，从而确定函数[y=ax]的单调性，然后再分别求出[y=ax]在[0， 1]上的最大值与最小值后求[a]值.若从整体思维出发，单调函数在闭区间上的最值总是在端点处达到，则可回避讨论，直接求解.

解 由题设得[ymax+ymin=a0+a1=1+a=3]，故[a=2].

引参换元，回避讨论

例9 解不等式[2x+5>x+1].

分析 借助换元，避开有限制条件的运算，从而可回避讨论.对于该题只要避开了平方运算，则无需分类讨论，因此可采用换元法.

解 令[t=2x+5]，则[x=t2-52]，于是原不等式等价于[t≥0，t>t2-52+1.]解之得，[0≤t<3].即0≤[2x+5]<3，故原不等式的解集为[{x|-2.5≤x<2}].