运用化归转化的三个要点

刘怀成

化归转化就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到目的的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

条件转化要全面

例1 函数[f（x）]的定义域[D={x|x≠0}]，且满足对于任意[x1，x2∈D]，有[f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）].

（1）求[f（1）]的值；

（2）判断[f（x）]的奇偶性并证明；

（3）如果[f（4）=1]，[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，且[f（x）]在（0，+∞）上是增函数，求[x]的取值范围.

分析 由抽象不等式转化为一般不等式的过程中，一定要注意到定义域和单调区间，不能认为[f（x）]在定义域[D]上单调递增.

解 （1）令[x1=x2=1]，

有[f（1×1）=f（1）+f（1）]，解得[f（1）=0].

（2）[f（x）]为偶函数，证明如下：

令[x1=x2=-1]，有[f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）]，

解得[f（-1）=0].

令[x1=-1]，[x2=x]，有[f（-x）=f（-1）+f（x）]，

∴[f（-x）=f（x）]，∴[f（x）]为偶函数.

（3）[f（4×4）=f（4）+f（4）=2]，

[f（16×4）=f（16）+f（4）=3].

由[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，

变形为[f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）].①

∵[f（x）]为偶函数，

∴[f（-x）=f（x）=f（|x|）].

∴不等式①等价于[f[|（3x+1）（2x-6）|]≤f（64）].

又∵[f（x）]在（0，+∞）上是增函数，

∴[|（3x+1）（2x-6）|≤64]，且[（3x+1）（2x-6）≠0].

解得[-73≤x<-13]或[-13

∴[x]的取值范围是[{x|-73≤x<-13]或[-13

点评 在对题目进行分析时，条件的梳理、转化是解题的重点，在条件转化时，一定要对条件进行全面考虑，挖掘隐含条件，不能顾此失彼，造成转换不等价.

转化过程要准确

例2 在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM

分析 本题是几何概型的概率问题，根据题意，选择角度作为几何概型的度量.本题易发生的错误是认为点M随机落在线段AB上，认为线段AB为基本事件的区域，认为是长度型的几何概型.

解 由于在∠ACB内作射线CM，所以CM在∠ACB内等可能分布（如图所示），因此基本事件的区域应是∠ACB，在AB上取点C′，使得AC′=AC，

所以[P（AM

点拨 解题过程中运用一些定理、公理或结论时，必须保证过程准确，不能错用或漏用条件，和公理、定理的适用条件进行比对，转化过程中推理变形要等价.

转化思路要灵活

例3 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，[PA=2AB=2].

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；

（2）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；

（3）求证：CE∥平面PAB.

分析 在证明线面关系时，可以利用线线关系，也可以利用面面关系，第（3）步证明中既可在平面PAB中作一直线，使其和CE平行；也可以过CE作一平面，使其和平面PAB平行.

解 （1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，

∴BC=[3]，AC=2.

在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，

∴CD=[23]，AD=4.

∴SABCD=[12]AB·BC+[12]AC·CD

=[12]×1×[3]+[12]×2×[23]=[523].

则V=[13]×[523]×2=[533].

故四棱锥P-ABCD的体积为[533].

（2）证明：∵PA=CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.

∴CD⊥PC.

∵E为PD的中点，∴EF∥CD，则EF⊥PC.

∵AF∩EF=F，

∴PC⊥平面AEF.

（3）证明：（方法一） 取AD中点M，连接EM，CM.如图所示.

则EM∥PA.

∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.

而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB.

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB.

∵CE?平面EMC，∴CE∥平面PAB.

（方法二）延长DC，AB，设它们交于点N，连接PN.如图所示.

∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，

∴C为ND的中点.

∵E为PD的中点，∴CE∥NP.

∵CE?平面PAB，NP?平面PAB，

∴CE∥平面PAB.

点拨 解决数学问题的过程就是一个由条件到结论的等价转化的过程，其转化过程往往不是惟一的.在解题时我们要从条件出发，灵活转化，从不同的角度解决问题.