一道高考题的思路分析

何勇波

试题呈现 直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠BCA=90°].[M，N]分别为[A1B1，A1C1]的中点，[BC=CA=CC1].则[BM]与[AN]所成角的余弦值为（ ）

A.[110] B.[25] C.[3010] D.[22]

下面介绍4种思路和9种解法.

思路一 运用向量解题

1. 建立空间直角坐标系，利用坐标运算解题

解析 以[C]为原点，[CA，CB，CC1]分别为[x，y，z]轴建立如图所示的空间直角坐标系.为了运算方便不妨设[BC=CA=CC1=2]（本文以下解法都与此相同），

则[A2，0，0]，[B0，2，0]，[M1，1，2]，[N1，0，2]，

则[BM=1，-1，2]，[AN=-1，0，2]，[BM?AN=3]， [BM=6]，[AN=5].

所以[cos=36?5=3010.]

2. 利用基向量表示所求向量求解

解析 如图，[BM=BB1+B1M=CC1+][12CA-CB，][AN=AA1+A1N=CC1+12AC]

[BM?AN][=3]，

[AN=5] ，[BM=6].

故[cos=36?5][=3010].

思路二 平移其中的一条线找异面直线成的角

1. 补成正方体平移[AN]

解析 如图，取[AD]中点为[E]，[BM]中点为[F]，则[AE]与[MN]平行且相等， 因此[AN]与[EM]平行且相等，所以[∠BME]就是异面直线[BM]与[AN]所成的角. 在等腰[△BME]中易求[BE=EM=5]，[BM=6]，所以，[cos∠BME=MFME=625=3010].

2. 在侧面[BB1A1A]内平移[BM]

解析 如图，过[A]作[BM]的平行线与[B1A1]的延长线交于[D]，连接[ND]则[∠DAN]就是异面直线[BM]与[AN]所成的角.在[△DMN]中，[MN=1]，[DM=22]，[∠DMN=45°]，利用余弦定理求出[DN=5]，在等腰[ΔDAN]中，[AN=DN=5]，[BM=6]，所以，[cos∠DAN=3010].

3. 在体内平移[BM]

解析 如图，取[BC]中点为[D]，连接[AD]，[DN]，[MN]，因为[MN]与[BD]平行且相等，所以四边形[BDNM]为平行四边形，则[∠DNA]就是异面直线[BM]与[AN]所成的角，[∵BM=DN=6]，[AD=AN=5]，解[ΔADN]得[cos∠DNA=3010].

思路三 平移这两条线找异面直线成的角

1. 在体的表面平移[BM]与[AN]

解析 如图，取[AA1]中点为[F]，[AB]中点为[D]，[AD]中点为[E]. 在侧面[ABB1A1]内将[BM]平移至[EF]. 取[A1N]中点为[G]，则[FG]是[ΔA1AN]的中位线，这样在侧面[ACC1A1]内将[AN]平移至[FG]. 则[∠EFG]就是异面直线[BM]与[AN]所成的角.取[AM]中点为[H]， 连接[HG，HE].在直角三角形[EHG]中求出[EG=172]，又[EF=62]，[FG=52]，利用余弦定理求出[cos∠EFG=-3010]，因为异面直线成角的范围是[0°，90°]，所以[BM]与[AN]所成角的余弦值为[3010].

2. 在体内平移[BM]与[AN]

解析 如图，连接[BN，MN]，取[AB]中点为[D]，[BN]中点为[E]，[MN]中点为[F]，连接[DE，EF]，知[DE]，[EF]分别是[ΔABN]及[ΔBMN]的中位线，因此[∠DEF]就是异面直线[BM]与[AN]所成的角，连接[MD，DF].在直角三角形[DMF]中求出[DF=172]，又[EF=62]，[DE=52]，以下解法同上.

3. 在体外平移[BM]，在体内平移[AN]

解析 如图，连接[AM，MN]，取[MN]中点为[F]，[AB]中点为[D]，[AM]中点为[E]，则[DE]，[EF]分别是[ΔABM]及[ΔAMN]的中位线，因此[∠DEF]就是异面直线[BM]与[AN]所成的角，连接[MD，DF]，以下解法同上.

思路四 构造三棱锥利用公式求解

解析 如图，连接[AM，BN]，在三棱锥[A-BMN]中；易知[AB=22]，[BM=AM=][6]，[AN=5]，[BN=3]，[MN=1]. 设异面直线[BM]与[AN]所成的角为[θ]，代入公式中有[cosθ=8+1-9+62×6×5=3010].

公式：[cosθ=AB2+MN2-BN2+AM22BM?AN]（证明略）.