变式学习“平面直角坐标系”

张文娣

平面直角坐标系是继数轴之后又一 个将数与形完美结合的工具'学好平面直角坐标系，不仅能让我们更好地描述位置，表示平移，也能为我们以后学习函数打下良好的基础.下面我们借助教科书上“平面直角坐标系”一章的一些问题进行变式学习.

例1（源自第64页）如图l，若第2列第3排记为（2，3），请以下座位的同学今天放学后参加数学问题讨论：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（5，6）.其中（2，4）和（4，2）在同一个位置吗？

解析：略

变式1“怪兽吃豆豆”是一种计算机游戏，图2中的“.”表示“怪兽”先后经过的几个位置.如果用（1，2）表示“怪兽”经过的第2个位置，那么你能用同样的方法表示出图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？

解析：由（1，2）表示的位置可知，前一个数表示纵列，后一个数表示横排.因此，“怪兽”经过的其他几个位置分别为（1，1），（3，2），（3，3），（4，3），（4，5），（5，5），（5，4），（7，4），（7，3），（8，3）.

变式2（第65页练习）如图3，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街与2巷的十字路口.如果用（2，5）表示甲处的位置，那么“（2，5）→（3，5）→（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）→（5，2）”表示从甲处到乙处的一条路线，请你用这种形式写出两条从甲处到乙处的路线.

解析：所给路线是从甲处先向右再向下.

也可以从甲处先向下再向右，即沿路线“（2，5）→（2，4）→（2，3）→（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）”走，

还可以先向下走到4巷，再向右走到4街，然后再向下走到2巷，最后再向右走到5街，即沿路线“（2，5）→（2，4）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（4，2）→（5，2）”走.

变式3如图4，如果（C，3）表示“天”，那么按以下方式排列分别能组成一句什么话？

（1）（A，5），（A，3），（C，4），（E，5），（B，1），（C，2），（B，4）.

（2）（B，4），（C，2），（D，4），（C，5），（A，1），（D，3），（E，1）.

解析：根据题意可知列在前，行在后，按照题中的表示方法找出相应的汉字，组成一句话即可.

（1）组成的一句话是“可爱的女孩是我”.

（2）组成的一句话是“我是一个小帅哥”.

变式4如图5，在中国象棋的棋盘中，若黑“马”现在的位置用（3，7）表示，且黑“马”下一步不能走到（2，5），（4，5），（5，8）所示的位置，请你用有序数对表示出黑“马”下一步可以走到的位置.

解析：黑“马”现在的位置用（3，7）表示，可知前一个数表示列，后一个数表示行.因为“马”走“日”字，所以黑“马”下一步有5个位置可以走，分别是（1，6），（1，8），（2，9），（4，9），（5，6）.

例2（第71页第13题）如图6，右边的“笑脸”是由左边的“笑脸”平移得到的，找出几对特殊的对应点，分别写出它们的坐标，你能发现什么规律吗？

解析：如图7，点A'、B'、C'、D'分别是由点A、B、C、D平移得到的，观察图形可得A （-5，4），B（-3，4），C（-5，2），D（-3，2），A'（4，4），B'（6，4），C'（4，2），D'（6，2）.

可以发现，将图形向右平移9个单位长度，图形中各点的横坐标都增加9，纵坐标不变.

变式1（第78页第3题）如图8，长方形ABCD的四个顶点分别是A（-3，2），B（-3，-2），C（3，-2），D（3，2）.将长方形向左平移2个单位长度，各个顶点的坐标变为什么？将它向上平移3个单位长度呢？分别画出平移后的图形.

解析：将长方形ABCD向左平移2个单位长度后，顶点A、B、C、D的坐标分别变为（-5，2），（-5，-2），（1，-2），（1，2）；将长方形ABCD向上平移3个单位长度后，顶点A、B、C、D的坐标分别变为（-3，5），（-3，1），（3，1），（3，5）.图略.

变式2（第79页第4题）如图9，将三角形先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是（）.

A.（2，2），（3，4），（1，7）

B.（-2，2），（4，3），（1，7）

C.（-2，2），（3，4），（1，7）

D.（2，-2），（3，3），（1，7）

解析：过程略，选C.

变式3（第79页第8题）如图10，三角形ABC中任意一点P（xo，Yo）经平移后对应点为P1（xo+5，yo+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1求点A1、B1、C1的坐标.

解析：三角形ABC中任意一点P（xo，yo）经平移后对应点为P1 （xo+5，yo+3），横坐标增加了5，说明点P向右平移了5个单位长度，纵坐标增加了3，说明点P向上平移了3个单位长度.

所以三角形ABC也应向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，从而可得点A1（3，6），B1（1，2），C1（7，3）.

变式4求图11中三角形ABC的面积.

解析：参照图12所示的方式作辅助线，得到长方形BDEF

拓展：在平面直角坐标系中，点的横坐标、纵坐标都是整数时，我们称这个点为格点（也叫整点）.所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形.显然，图11中的三角形ABC就是格点三角形.

通过观察，我们发现：在图11中，三角形ABC的内部有10个格点，三角形ABC的边界上有4个格点，且10+4/2-1=11.难道格点多边形内的格点个数、边界上的格点个数与格点多边形的面积有关？我们一起来探究.

（1）在平面直角坐标系中尽可能多地画出内部只有1个格点的格点三角形、格点四边形、格点五边形，计算这些格点多边形的面积S，并数出边界上的格点个数n，你能发现S与n之间有什么关系吗？

（2）在平面直角坐标系中尽可能多地画出内部只有2个格点的格点三角形、格点四边形、格点五边形，计算这些格点多边形的面积S.并数出边界上的格点个数n，你能发现S与n之间有什么关系吗？

（3）在平面直角坐标系中尽可能多地画出内部只有3个格点的格点三角形、格点四边形、格点五边形，计算这些格点多边形的面积S，并数出边界上的格点个数n，你能发现S与n之间有什么关系吗？

（4）-般地，如果格点多边形的面积为S，其内部的格点个数为m，边界上的格点个数为n，你能根据（1）（2）（3）所得结果猜测S、m、n之间的关系吗？再任意画几个格点多边形试一试.

事实上，格点多边形的面积公式为S=m+n/2-1（其中m表示格点多边形内部的格点个数，n表示边界上的格点个数），它也叫Pick定理.如果想进一步了解，请上网搜索相关知识.