平面直角坐标题 分类讨论要注意

朱亚邦

我们在解与平面直角坐标系有关的问题时，经常会遇到包含多种情况的问题，稍不理解，就会漏解，这就需要我们谨慎对待，仔细分析.

一、两种情况的讨论

1.与面积有关的分类.

例1 已知点A（l，0），B（5，0），点P在y轴上，且 S△ABP=8，求点P的坐标.

解析：点A、B在x轴上，且AB=5-1=4.

点P在y轴上，可设点P的坐标为（O，h）.

由S△ABP=8可得1/2AB.|h|=8，即1/24|h|=8.

故=±4.

所以点P的坐标为（0，4）或（0，-4）.

2.与坐标轴有关的分类.

例2 已知点A（n+1，3），B（2，n），当AB平行于坐标轴时，求点A、B的坐标，

解析：应分如下两种情况讨论，

当AB平行于x轴时，点A、B的纵坐标相等，即n=3.所以n+1=4.

此时点A、B的坐标分别为（4，3），（2，3）.

当AB平行于y轴时，点A、B的横坐标相等，即n+l=2.解得n=1.

此时点A、B的坐标分别为（2，3），（2，1）.

二、三种情况的讨论

1.与正方形的顶点有关的分类.

例3在平面直角坐标系中，一个正方形的两个顶点的坐标分别为（0，0），（-2，0），求另外两个顶点的坐标.

解析：由已知的两个顶点的坐标（0，0），（-2，0），可知这两个顶点都在x轴上，而另外两个顶点则有三种情况（如图1）.故另外两个顶点的坐标可能分别为（0，2），（-2，2），也可能分别为（0，-2），（-2，-2），还可能分别为（-1，1），（-1，-1）.

2.与平行四边形的顶点有关的分类.

例4 已知一个平行四边形的三个顶点分别为0（0，0），A（2，0），B（l，2），求第四个顶点C的坐标，

解析：共有三种情况（如图2）.

顶点C的坐标为（1，-2）或（-1，2）或（3，2）.

三、四种情况的讨论

1.与距离有关的分类.

例5 已知点P（m，n）到x轴的距离为3，到y轴的距离为5，求点P的坐标.

解析：点P（m，n）到x轴的距离为3，故|n|=3，所以n=±3；点P（m，n）到y轴的距离为5，故|m|=5，所以m=±5.

故点P的坐标为（5，3）或（-5，3）或（5，-3）或（-5，-3）.

2.与坐标轴、距离有关的综合分类.

例6 已知点A（0，0），点B和点A在同一条坐标轴上，且点B到点A的距离为5，求点B的坐标.

解析：点B和点A可能同在x轴上（此时点B可能在点A右侧，也可能在点A左侧），也可能同在y轴上（此时点B可能在点A上方，也可能在点A下方），故点B的坐标为（5，0）或（-5，0）或（0，5）或（0，-5）.