读懂有序数对

孔凡哲

对于“如何确定一个点”的问题，同学们可能都有自己的解决方法，其实，解决这个问题，既可以采用“形”的方法，也可以采用“数”的方法。

一、采用“形”的方法

（l）在一条直线上，如何确定一个点？

（2）在平面内，如何确定一个点？

对于上述问题，在直观几何中，自然好解决. 在直线上，只要知道一个已知点A以及未知点B到点A之间的距离，就可以大致确定未知点B，如果知道点B在点A的哪一侧，那么，未知点B自然完全可以唯一确定，

而在平面内，确定一个点，正如我们知道的，两条不重合的直线相交，可以得到一个交点，亦即，两条直线可以确定一个点.

二、采用“数”的方法 在人类发展史上，“确定一个点”曾一度是仪有欧式几何才能完成的任务，直到一位伟大的数学家笛卡儿出现，笛卡儿找到了一种奇妙的方法，这就是坐标法（借助代数表示，分析处理几何问题，亦称解析法）.从此，一个新的儿何学分支——解析几何诞生了.

1.一维图形上的点的坐标，

在数轴上.由于确定了原点、单位长度和正方向，确定一个点只需要一个数就可以了，这个数可以是有理数，也可以是无理数.

事实上.在数轴上，任意一个点P对应着唯一的数a，而任意一个数a也对应着唯一的点P，正如“一个萝卜一个坑”.这个点P满足OP=|a|，如果a是正数，那么，点P在原点O的右侧（即数轴的正半轴上）；如果a是负数，那么，点p在原点O的左侧（即数轴的负半轴上）；如果a是O，那么，点P与原点重合.

在数轴上，每一个点都对应着一个数，这个数其实就是这个点的坐标，在图1中，点A的坐标是a，点B的坐标是b，点O的坐标是O.因此，数轴上的点，仅由一个代数量就可以唯一确定，于是，人们通常把直线叫作一维图形.

2.二维图形内的点的坐标.

在建立了两个不平行的数轴的前提下，在平面内确定一个点，只需要一个数对就可以了——无论这两条数轴是否垂直，

如图2所示，图2（1）中两个数轴并不垂直，这就是斜坐标系；图2（2）中的两个数轴相互垂直，这就是我们通常所说的直角坐标系.

图2（2）定位方式的本质在于，在由过同一个原点而且互相垂直的两个数轴组成的图形中，数对（X，y）可以表示平面内任意一点.此时，在平面内的任意一点也自然就有了它在两个坐标轴上的对应位置，通过作垂线，寻找一个点在两个坐标轴上分别对应的实数，于是，我们可以用一个有序数对表示这个点.如图3所示，从点M分别向X轴、y轴作垂线，若垂足对应的数轴上的数分别为X、y，则可用数对（x，y）表示点M.值得注意的是，数对（X，y）是一个整体，数对的两个数有位置之分，即有顺序之分，是有序数对.

由于X轴、y轴都有正半轴、负半轴，两个相互垂直的X轴、y轴就将平面划分为两条坐标轴与四个区域，这四个区域分别叫第一、二、三、四象限，根据点对应各坐标轴上数的属性，四个象限内点的坐标有如图4所示的特征.而坐标轴上的点（包括坐标原点）位于边界上，不属于任何一个象限，其中在X轴上的点纵坐标为O，在y轴上的点横坐标为O.

例1 （2013年株洲）在平面直角坐标系中，点（1，2）位于第 _____象限.

分析与解答 根据各象限内的点的坐标特征解答.本题考查了各象限内点的坐标特征，准确识别各象限内点的坐标特征是解决本题的关键。

答案为第一象限.

三、确定-个点需要几个条件

在直线上，确定一个点，仅仅需要一个代数条件即可，这就是数轴上的点对应的数，

在平面内，确定一个点，仅仅需要两个独立的代数条件就可以了，这就是平面直角坐标系内的横、纵坐标.

四、如何确定常见的变换后点的坐标 初中阶段将要系统学习图形的变换形式，包括轴对称变换、平移和旋转等，采用点的坐标的变化来表达这些变换，其实更简洁、更直观.

1.轴对称变换.

对于点与点之间的轴对称变换，如果对称轴是坐标轴，对称点的坐标间的关系如图5所示.

分析解答、根据关于X轴对称的点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可解决，点P（X，y）关于X轴对称的点P的坐标为（X，-y）.

因为点P（2，3）关于X轴对称的点的坐标为（2，-3）.故答案为（2，-3）.

2.关于坐标原点对称.

例3平面内一点P（a，b）：将其横、纵坐标均乘以-1，对应点和点P之间有何关系？

分析解答、将平面内一点P（a，b）的横、纵坐标均乘以-1后，对应点的坐标变为（-a，-b）.一个坐标变为相反数是冈为进行了一次关于坐标轴的轴对称变换，于是，我们可以将上面的过程，描述为如图6所示的过程，

从而，经过两次轴对称变换后的点，与原来的点关于坐标原点成中心对称.

3.沿特殊方向的平移，

点沿着坐标轴左右或上下平移时，在平移过程中，点的坐标同样发生变化，

对于平面内的任意一点P（a，b），经历上述特殊方向的平移，其坐标间的关系如图7所示.

4.点的复合式平移，

若平面内的一个点沿某一方向（非水平、非竖直的方向）移动，此时，我们只需要将其拆分成水平方向的平移与竖直方向的平移就可以了.当在水平、竖直方向都发生平移后，点的横、纵坐标都发生变化，与先发生哪个方向的平移并没有关系，

在数轴上，确定一个点，仅仅需要一个独立的量就可以了.

在平面内，确定一个点，仅仅需要两个彼此独立的量就可以了，

你想过没有？如果在我们居住的房间内确定一个点，那么，只需要几个彼此独立的量就可以了呢？