浅谈数学中的最值与优化问题

刘强辉

【摘要】进入二十一世纪的今天人类生活理念：“用最小的投入得到最大的回报”。纵观这几年的数学发展不管是中考、高考还是竞赛，都无不体现最值的重要性。总之最值问题可以说贯穿着宇宙世界，渗透到我们生活的每个角落，所以一直以来探究数学中的最值及其应用倍受人们的青睐，乃至人类社会发展永恒的主题。

【关键词】最值问题  分类思想  优化  投入成本

那么在生产实践中，从数学的角度我们可以分为代数最值问题：如在现实生活中，我们经常碰到带有“最”字的问题，投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等.在几何图形中按一定规律运动的元素，在一定的范围内存在最大值或最小值称为几何最值问题，它一般有关于角度的最值、有关线段（距离）的最值、有关周长的最值、有关面积的最值、体积最值等.本文将通过数学中的最值问题的分类与解决思路谈谈自己的一些肤浅看法.希望它能给学生在数学思想方法和解题思路上带来启发。

一 求角的最大值问题

例1、已知定点A（，0），圆O的方程x2+y2=9，动点M在圆上，

则 ∠OMA的最大值为多少？

解：如图所示，设∠OMA=，AM = x

由cos∠OMA=

即 =

当且仅当x=时

此时      所以

二 距离和的最值问题。

例2、如图，菱形ABCD中，AB=2，，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小最是

分析：由菱形的性质知：点B与点D关于AC对称。因为P在AC上

支运动，所以PB=PD。要求PE+PB的最小最，即求

PD+PB的最小值。连接DE交AC于点，则DE即为所求。又∠BAD=60°，AE=AD，E为AB的中点，所以DE⊥AB，而AB=AD=2，所以

DE=，即PD+PB的最小值为

三 求面积的最值问题

例3、  如图，ADPE是个矩形，PD=m，PE=n（mn均不为0），BC为过点P的直线，且与AD、AE的延长线交于B、C。求△ABC的面积的最小值。

解：设∠B=∠EPC=a，△ABC的面积为S。

∴

即： n2 tan2a+2（mn-S）tana+m2=0  （n≠0）∵ tana为实数，∴△≥0，

即  4（mn-S）2-4m2n2≥0   S﹥0 ，∴S≥2mn..

故  当   tana=  时  △ABC面积的最小值为2mn.

四 求体积的最值问题

例4、  设半径为R的球有一内接圆柱，当内接圆柱体积最大时，求出圆柱的底面半径和高，并求出体积的最大值。

解：设内接圆高柱为h，底面半径为r，则，

∴

當且仅当r=R，h=R  时

总之，随着工业科学化的突飞猛进，在实际生产、现实生活和科学研究中，许多情形下往往要求操作、经营和决策者考虑怎样才能以最低的成本、最短的时间获取最大的效益，这类问题在数学中称为最优化问题.而数学最优化问题离不开最值，因此如何在数学教学中将数学最值问题——如完成一件事所用的费用最少、路线最短、效益最大、产值最高、容积最大等等与优化问题有效的结合到生活实际中，是教与学的最大挑战。反之，如果学生只会书本知识，那是我们的教学最大的误导和失败。所以在平时的教学中，我们应把培养学生的数学应用意识作为数学教学的根本目标，不仅仅是为了提高学生的数学成绩，更为重要的是能使学生学到有用的数学，从实际出发解决数学问题服务日常生活。

【参考文献】

《模型思想与优化理论》、《如何看待当前经济研究的“数学化”》、《课程教材研究》