解圆锥曲线的最值问题的有效性策略

黄诗贤

【摘要】圆锥曲线是高考必考内容，在新课程标准背景下，圆锥曲线的最值问题频繁出现在高考试题中，最值问题解题方法较为灵活，同学们常感觉无从下手，它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查同学们的思维能力、实践和创新能力.本文就如何提高解圆锥曲线的最值问题的有效性策略提出看法.

【关键词】圆锥曲线；最值问题；有效性策略

解圆锥曲线的最值问题的有效性策略一：

图 1用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值.

例1 如图1，已知点F是双曲线x24-y212=1的左焦点，定点A1，4，P是双曲线右支上动点，则|PA|+|PF|的最小值为.

解题思路 取双曲线右焦点G，由双曲线的定义，得|PF|-|PG|=2a=4，即，|PF|=|PG|+4，则|PA|+|PF|=|PA|+|PG|+4.要取最小值，只要满足A，P，G三点共线，此时最小值为|AG|+4=5+4=9.

图 2例2 如图2，F是椭圆x24+y23=1的右焦点，A1，1 为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，则|PA|+|PF|的最大值为.

图 3解题思路 取椭圆右焦点G，由椭圆的定义得|PF|+|PG|=2a=4，即|PF|=4-|PG|，所以|PA|+|PF|=|PA|-|PG|+4，由三角形三边关系得|PA|-|PG|<|AG|，即-|AG|<|PA|-|PG|<|AG|，要使|PA|+|PF|取最大值，只需P，A，G三点共线，且点P在射线AG上，如图3所示，此时|PA|-|PG|=|AG|=5，所以|PA|+|PF|的最大值为4+5.若是求|PA|+|PF|的最小值，又该如何呢？道理是一样的，只需P，A，G三点共线，且点P在射线GA上，易求得最小值为4-5.

策略一重在理解定义，灵活运用定义，借助平面几何的有关结论，以数形结合、转化的数学思想寻求解题思路.

解圆锥曲线的最值问题的有效性策略二：

将所求最值目标表示为关于某个变量的函数，借助函数的性质、不等式知识求最值.

图 4例3 如图4，P，Q分别是抛物线c：y2=4x与直线l： x-y+3=0上的动点，则PQ的最小值为.此时点P的坐标为.

解题思路 因为点P在抛物线上，所以可设P（y204，y0），则点P到直线l的距离为d=y204-y0+32，整理得d=28（y0-2）2+2，由二次函数性质得，当y0=2时，d有最小值2，即PQ的最小值为2，此时点P的坐标为（1，2）.

图 5例4 如图5，已知抛物线c的方程为y2=4x，过焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线c相交于点A，B，l2与抛物线c相交于点D，E，求四边形ADBE面积的最小值.

解题思路 设A（x1，y1），B（x2，y2），因为l1过焦点F（1，0），所以设l1：y=k（x-1），因为l1与抛物线c相交于点A，B，所以联立方程组得y=kx-1y2=4x，消去y并整理得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由韦达定理得x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1，对|AB|=（x1-x2）2+（y1-y2）2整理得|AB|=4（1+k2）k2，因为直线l1，l2互相垂直，所以设l2：y=-1k（x-1），同理得|DE|=4（1+k2），由S=12|AB|·|DE|，得S=8k2+1k2+2，由不等式性质得k2+1k2≥2k2·1k2=2，所以ADBE面积的最小值为32.

策略二重在建立目标函数，利用函数性质和不等式知识，以数形结合、函数、转化的数学思想寻求有效的解题思路.

【参考文献】

[1]关雅南.与圆锥曲线有关的几个最值问题.上海中学数学，2010（9）.

[2]潘广英.例析圆锥曲线中的最值问题.中学生数理化（高二、高三版），2010（11）.