走出数学思维误区的践行

顾静

【摘要】数学以它特有的魅力吸引着众多的中学学生，而学生往往也是带着浓厚的兴趣开始的，但是，随着学习的进一步深入，学生普遍存在着上课易懂、做题易错、学后易忘的现象.作为数学教师如何利用心理学知识分析学生学习中的思维误区以减轻学生学习数学的负担？如何提高中学数学教学的实效性？成为教师责任之一，因此研究中学学生数学学习中的思维误区并采取相应的矫正策略，对指导学生学好数学有着非常重要的理论和现实意义.

【关键词】数学；学习思维误区；矫正策略

一、学习数学的思维特点及误区的形成

据心理学研究，中学生已经完成从具体形象思维向抽象思维过渡，抽象思维逐渐占主导地位，这种思维特点为学好数学概念和规律打下基础，而通过数学的学习更能促进其思维的转变.这正是学生学习数学的思维特点，因为学习数学是以观察、实验为基础的，在观察与实验获得感性材料的基础上经过抽象思维，才能得出数学概念和规律.

在心理学中，思维是通过抽象和概括，即知识的内化过程，揭示事物的本质和内在规律性，知识的结构和注意方式是影响思维的重要变量.布鲁纳的认识发展理论认为：学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学习总是要通过已知的内部认知结构，对“从外到内”的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存.也就是说，学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的“媒介点”，含混不清的知识会对新知识产生严重的干扰，给理解、记忆和应用造成极大的困难.作为数学教师在教学过程中若脱离学生思维实际，让学生新旧知识不能顺利过渡交接，必然会让学生对所学知识在认知和理解上产生困难，而且学生学习数学受自身的心理认识水平和生活经验的制约；其次，还受学习内容的概括性、抽象性程度的制约.所以，在数学学习时，往往会产生一些思维误区，出现各种各样的错误，如乱套公式、张冠李戴、思维混乱等现象.

二、 数学学习思维误区分析及矫正策略

中学数学思维产生的原因有很多，有的来自我们教学的疏漏，有的来自学生自身，作为学生个体存在差异性，所以中学数学思维误区也有不同表现，解决方法也不尽相同，具体如下：

（一）概念辨析不清形成的思维误区

许多相近的数学概念，既相互联系又相互区别，具有不同的本质属性.如果对它们的数学意义理解不透，区分不清，加上头脑中没有清晰的表象，容易将它们之间的关系简单化.例如：瞬时变化率和平均变化率.平均变化率：设函数f（x）在x=x0处及附近有意义，当自变量x在x0处有改变量Δx，函数y相应地有改变量Δy=f（x+x0）-f（x），改变量之比叫函数y=f（x）在x0到x0+Δx之间的平均变化率.当Δx→0，ΔyΔx→某个常数（或有极限），这个极限叫f（x）在点x0处的导数即瞬时变化率.有同学就很难理解这两个概念，认为瞬时变化率当Δx→0，怎么还会有一个随自身变量变化的速度.

要克服这种思维误区，可以抓住两个概念间的差异，从不同的角度突出这种差异，进行区别.一种是可以通过列举具体的典型例子加以纠正，使概念深化，找出两者之间的内在联系和区别.如用物理中的平均速度和瞬时速度加以类比，或从导数的几何意义入手，运用图像进行区别，平均变化率是曲线割线的斜率，而瞬时变化率是曲线在某点上切线的斜率.

概念是反映客观事物的本质属性的思维形式，是在大量实验基础上运用逻辑思维方式，把同类事物的本质共性集中起来，加以概括形成的.

所以我们有如下做法：在讲概念时，应展开充分的分析、讨论，让学生弄清概念的来龙去脉，明确概念的形成过程，以达到对概念内涵的准确理解和掌握；为消除这类误区，要求教师在概念教学中，重视对概念的剖析； 加强知识训练环节，反复矫正巩固，加深理解； 用其他学生更能切实体会的方式让学生产生兴趣.

（二）思维定式干扰形成的思维误区

学生运用掌握的知识，形成了一套有效的分析解决问题的推理方式和方法，变成了学生的一种能力，一定的思维模式，这种现象叫思维定式.但这种现象具有双重性，从正面说，思维定式的形成表明学生不仅掌握了知识，并且也形成了一定的思维推理能力；从反面说，这种思维定式对分析解决能力的发展和提高也具有一定的阻碍作用，这种现象在教学中是很常见的.

中学生已经有相当的丰富的解题经验，思维往往陷入僵化，有些学生很难放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻碍更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识，不能对出现的新问题作出灵活反应.

如：z∈c，z-3-4i≤3，求z的最小值，不少的同学会不约而同地说，z的最小值为2，理由是以前我做过类似的题目： z∈c，z-3-4i=3，求z的最小值.忽略了z对应的点由圆上的点扩充到了周周和圆内的点.又如：求y=x+1x的取值范围.不少同学会不假思索地回答2，+∞，理由是基本不等式.直到高三毕业，提到线线垂直，仍有学生认为这两条直线是相交的.类似的问题不能穷尽.

要克服这种思维定式，教师可以精心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法，要运用延迟评价的原则，即待所有学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴露不完全，解决不彻底.有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学生不易理解的概念，不能正确运用的知识或容易混淆的问题让学生讨论，从错误中引出正确的结论.这样，学生的印象特别深刻，而且通过暴露学生的思维过程，能消除消极的思维定式在解题中的影响.应该注意运用典型的事例加强练习，增强训练的新颖性，增强题目的灵活性，重在提高具体问题具体分析的能力，切实加强审题能力的培养，使学生形成正确的分析习惯和方法，克服想当然的按头脑中的思维套路来解题的不良习惯.教师要引导学生对知识概括归纳，构造知识块、知识链，形成网.具体可以：相同类型的题目一起讲；设计发散性问题，培养学生的思维灵活性；设计探究性问题，提高学生思维的创造性及培养学生逻辑推理能力.随着教师教学的深入，让学生不做“套子”里的人.

（三）忽视隐含条件形成的思维误区

学生在学习数学过程中，往往顺着事物发展过程去思考问题，缺乏系统的思考能力，片面地把握事物的本质，不能正确地解决一些问题，常常忽视隐含条件.

例：x2+2y2=6x，求x2+y2的最大值，在复习函数最值时学生做到这样的一题，但是学生答案却分成两类，一部分同学是这样解决的：∵3x2+2y2=6x，∴y2=6x-3x22∴x2+y2=-12x2+3x=-12x-32+92，∴x2+y2的最大值为92.这显然反映了学生思维的肤浅，忽略了隐含条件y2≥0.学生运用数学知识解决实际应用问题时，常常是多条件的，有些条件隐含在字里行间.

中学生的思维能力有了更高的抽象性，对事物能注意到具体分析，找到本质特征，能在分析综合的基础上，将已获得的理论运用到解决具体问题中去.若教学中给予学生更多的独立学习、探索、发现的机会，在实践中去分析、研究、解决生物问题，就能不断地激起他们求知的需求，满足他们探索的欲望.

（四）类比不当形成的思维误区

类比思想方法是富于创造的一种方法.这是因为它可以跨越各个种类进行不同类事物的类比，可以比较本质的特征，也可以比较非本质的特征，因而具有较强的探索和预测作用.康德说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这种方法往往能指引我们前进.”

恰当地运用类比，可以帮助学生掌握所学的知识.如在学习立体几何时，二面角和角的概念可以类比，平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何中的点换作直线，或把线换作平面，学生很容易对二面角的概念理解.但类比不当，会造成学习知识的思维误区.

如：我们解这样的不等式4i+log0.5x≥5，x∈R，求x的取值范围.学生往往把不等式可化为4i+log0.5x≥5或4i+log0.5x≤5……这里受实数x，|x|≥a（a>0）

Symbol[C@ x≥-a或x≤-a的影响而产生的错误类比.事实上，应该先把问题实数化，即不等式化为16+log0.5≥5，再解这个不等式.还有如： ax2+bx+c=0 有实根Δ≥0，而忽略这个方程的类型.

克服这种思维误区的有效方法，教学中，通过一些易混概念性质的类比，既可纠正学生的错误，还可以使学生掌握类比的可行性、准确性、局限性，从而科学地掌握运用类比思维方法.主要抓住两个题目之间的本质差别，分析其差异，找出类比不具备的前提条件，消除这种思维误区，培养学生良好的类比思维方法.

（五）教学方法不当造成的思维误区

在教学过程中，教师不顾学生的实际情况，进行脱离学生的不当教学容易造成学生在学习过程中产生思维误区.

一种情况是教师过于“放手”.自新课改实施以来，很多教育家认为要把学生的主体地位在课堂上体现，越来越多的教师在课堂上抛给学生一个问题后随即就变成一个旁观者，而不顾学生的年龄特点与班级的实际情况，任由学生讨论交流，担心必要的启发点拨会招来“琐碎引导”的嫌疑.于是一两名学生得出的正确结论变成大家的讨论成果，这样造成学生的思维误区，很多同学的思维品质根本没有得到发展.例如等比数列前n项的和，学生对错位相减法掌握不到十分熟练的地步，学生也很难想到这种方法，这一教学过程中教师必须有所创造，有所点拨.

另一种情况是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，如：在《解一元二次不等式》的教学中，教师只顾自己的思路推导出，ax2+bx+c>0，（a>0）的解集.当Δ>0，解在两根之外，当Δ=0，解是除了根之外的其他实数，当Δ<0，解为一切实数.学生往往很难理解为什么我们往往要求要把二次项系数化为正，在以后的解题中就形成思维误区.实际在教学中，让学生讨论二次函数在开口不同且Δ也各异时的图像，让他们在教师的步步引导下来看不等式，自然也掌握了整个知识的来龙去脉，那实际a大于零还是小于零都无所谓了.

解决方法：教师在研究教材思路和学生思路的基础上，根据学科知识的逻辑结构和学生的思维特征，设计一条适合学生已有的知识水平，并有目的地促进其发展的科学思路，让学生循着这条思路的正确线索而探索知识的教学过程.教师在教学中根据教材思路，联系自己的领悟，理清思维脉络，先讲科学思维的方法和过程，再导出思维的结果，这样就可以激励学生的思维.

总之，为了有效克服以上所述的各种思维误区，就必须认真研究学生思维误区产生的根源，采取各种教学手段，见招拆招，诱导思维、激励思维、启发思维、活跃思维，增强预见性和针对性.通过思路教学激励思维；通过解题过程启发思维；通过情境教学活跃思维.熟悉掌握思维方法切实纠正学生思维过程中的错误偏差，并且在运用中不断巩固、深化、提高思维能力.这样才能提高学生数学学习的实效性，才能更有效的提高教学质量.

【参考文献】

[1]马忠林，任樟辉.数学思维理论.桂林：广西教育出版社，2001.

[2]美 杜威 Dewey J.著，姜文闵译.我们怎样思维.北京：人民教育出版社1991.3.

[3]美G.波利亚（GeorgePolya）著.怎样解题：数学思维的新方法.上海：上海科技教育出版社，2007.