数学的深邃之美在于探究

叶良铨

摘   要：近年来在高中数学课堂教学中大量存在着这样的问题：概念教学远离探究、解题教学缺失探究、对探究教学的理解产生偏移.数学教学应该是一种慢艺术，只有探究的数学课堂才能创造自由呼吸的课堂，只有自由呼吸的课堂才能让学生自由想象，在他的自由想象的空间里发展无限的创造力并能付诸实践，才能感受数学的深邃之美.

关键词：问题;探究;数学本质;能力;素养

数学教学应该是一种慢艺术，缺乏探究的教学，必然导致缺乏思维空间的学习，正如缺乏空气，缺乏水分的植物，哪会有郁郁葱葱的景色？然而在一线的数学课堂中探究之魂往往被粗暴地过滤或斩断于轻描淡写之中.

问题1：概念教学远离探究

一些教师在教学中为了赶进度，往往略去概念产生的过程，课堂教学缺乏探究和生机.“题海战术”仍倍受青睐，发现的乐趣被粗暴地过滤，学生的大脑已然成为被动接受知识的“容器”.他们只看到短期内学生的“分数”不错，看不到今后对学生能力的不利影响（即缺乏可持续发展的能力），短期内的熟能生“巧”遮住了长远的熟能生“笨”的事实.

问题2：解题教学缺失探究

解题教学是数学教学的核心内容，而猜想能力的培养又是探究性教学的重要内容.我们知道数学是一门富于猜想（合情推理）的学科，“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”（牛顿）.但有些教师把握不住猜想的“火候”，缺乏思维空间和时间的支持，其“猜想”变成了“空想”和“瞎想”，探究也就成为一种形式.

问题3：对探究教学的理解产生偏移

一些教师认为数学探究性教学就是数学探究性课题学习，其教学形式主要在课外的研究性学习中，即狭义的认为“环保问题”、“金融问题”、“桥梁设计”等数学探究课题的学习才是探究性学习.

那么在高中数学课堂教学中我们应怎样进行探究的教学设计，怎样引领学生去探究，从而在探究中还原数学的本真，体会数学的深邃之美呢？

一、抓住概念核心，探究概念本质

“以直代曲”、“无限逼近”是导数概念的核心，导数的核心内容便是导数的概念，导数概念的源头便是导数的背景知识，它包含了“以直代曲”、“无限逼近”的具体过程，体现了平均变化率与瞬时变化率之间的联系，以最为朴实的形式展示着导数概念思想.

案例1   已知函数f（x）=x2lnx-a（x2-1），a∈R，若当x≥1时， f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围.

∴当x>1时，h′（x）>0，即h（x）在x∈（1，+∞）时单调递增.

故h（x）>h（1）=0;所以，h（x）>0即g′（x）>0

一切都顺理成章，可是，让学生无法继续往下的原因是：

当x=1时，x2lnx与x2-1的值均为0，因此g（x）无意义，所以不能通过端点来定下确界.

然而，有些教师就告诉学生，“此题分离参数法”行不通，只能按既定的方法，扼杀了学生的思维，失去了一次探究导数概念的良机.

而事实上，此题包含了数学的很多思想方法，如果我们深入探究，就可以带领学生一起享受数学深邃之美的心路历程：

只有这样，我们才能说对导数概念的理解是深刻的，是多方位的;也只有这样才能引领学生揭示问题的本质，还原数学的本真，感受数学的深邃之美.

二、充分用好教材，探究教材例题的数学本真

案例2（人教版选修，P41例3） 设A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求动点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状.

这个问题的本身并不难，多数同学都能快速地设动点M（x0，y0），由kAM·kBM=-）.所以动点M的轨迹是除去A，B两点的椭圆.

那么我们在教学过程中应怎样用好这道例题？课堂上应怎样引导学生思索，激发学生的思维，引领学生深层次的探究，在探究中还原数学的本真呢？

我的实践：

师：请同学们对比一下本题的已知条件和结论，你有哪些联想？

生1：我想如果把斜率改成它的相反数，会是什么轨迹呢？

师：那么，请同学们试求一下（片刻后投影展示生1的解答过程）.可见此时得到的轨迹是除去A，B两点的双曲线，生1同学的联想，同时也给我们提供了探究的一个方向.

生2：（迫不急待地）如果把斜率改成±1，不是更特殊吗？

师：±1在圆锥曲线中确实太特殊了，请大家试求一下，看看是怎样的轨迹？

生3：我得到的结果是，当斜率为1时，轨迹是除去A，B两点的等轴双曲线;当斜率为-1时，轨迹是除去A，B两点的的圆.

师：在常数中±1是要特殊考虑的.

生4：在向量中是经常特殊考虑的，那么在常数中我觉得应该考虑一下0.

师：同学们还联想到了什么呢？（有些同学开始跃跃欲试，热情高涨）

生5：（急切地）这样逐个地试，何时是尽头;我的想法是把-改成更一般的常数呢？是否能得到一般性的结论？

师：想法非常大胆，生5给我们提出了一个从特殊到一般的思考方向.接下来我们一起来探究他提出的问题.

根据前面已有的探究，学生很快得到了点M的轨迹方程：=1（x≠±25）.

师：我们可以看出这个方程的模型大致是圆锥曲线，那么它可以是哪一种圆锥曲线呢？

（同学们踊跃的讨论，教师补充、归纳、板书），很自然地得到了如下几条结论：

①当m∈（-∞，-1）时，点M的轨迹是焦点在y轴上的除去A，B两点的椭圆.

②当m=-1时，点M的轨迹是除去A，B两点的圆.

③当m∈（-1，0）时，点M的轨迹是焦点在x轴上的除去A，B两点的椭圆.

④当m∈（0，1）∪（1，+∞）时，点M的轨迹是焦点在x轴上的除去A，B两点的双曲线.

⑤当m=1时，点M的轨迹是除去A，B两点的等轴双曲线.

教材凝聚着编写者们对课程标准精确理解的集体智慧的结晶.每一道例题都是编者团队从茫茫题海中反复斟酌、精挑细选后才编上教科书的.它代表了解答过程的示范性和问题类型的典型性，更富有学后反思探索性.作为教师的我们，要深挖教材，引领学生品出例题的内涵和精髓，体味数学的深邃之美.

三、适时引导变式探究，提升学生的数学能力和素养

案例3（人教版选修2-2P30例5改编） 已知函数f（x）=x3-4x2+4x（x∈R）.

（1）求f（x）的单调区间;     （2）求f（x）的极值.

波利亚说：“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这一道题，就好象通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”所以在教学过程中我们不应当就问题而解决问题，应该透过问题的表象去揭示问题的本质，通过对一个问题的变式探究来提升学生的数学能力和数学素养.

我的实践：

生1（变式1）：已知函数f（x）=x3-4x2+4x，x∈[0，]，求f（x）的最值.

生2（变式2）：已知函数f（x）=x3-4x2+ax，在区间（1，2）为减函数，在区间（2，+∞）为增函数，求实数a的值.

生3（变式3）：已知函数f（x）=x3-4x2+ax，在区间（1，2）为减函数，求实数a的范围.

师（变式4）：已知函数f（x）=x3-4x2+4x，求证：对任意的x1，x2∈[0，]，不等式f（x1）-f（x2）<恒成立.

师（变式5）：已知函数f（x）=x3-4x2，g（x）=a-4x，试问实数a取何值时，两函数的图象有且仅有三个公共点.

师（变式6）：已知函数f（x）=x3-4x2+4x，g（x）=8x2+6x-k（其中k为实数），若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使得g（x1）=f（x1）成立，求k的取值范围.

习题变式教学是高中数学教师经常应用的一种教学手段.一题多变，变的是形式，不变的是本质.问题的变式，增强了学生对函数与导数的关系认识的广度与深度，增强了思维的广阔性.它能帮助辨析正误，提高教学效率、升华数学思想方法、培养探究、创新精神.

四、多角度探究解题思路，提升学生思维品质

著名的数学家波利亚说得好，“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题方法的产生.”所以在解题时，我们怎样把题设和结论联系起来，联想、类比以前所学的知识，引导学生探究出所研究问题的方法的心路历程比解决问题的本身更重要.

在解题教学中，教师应适时引导学生探究该问题与之前哪些问题是有相通的，有哪些不同的思路？过程能否简化？方法能否优化？运用了哪些数学思想方法？引导学生从多层次，多维度，全方位地来探究所研究问题的数学本质，提升学生的思维品质.

总之，只有探究的数学课堂教学才能创造自由呼吸的课堂，只有探究的数学教学才能感受数学的深邃之美.我们可能一时半会还不具备欧拉的直觉、高斯的严谨、牛顿的灵感、笛卡尔的创新，但我们必须要清醒地认识到培养学生的这些品质素养是数学教育永恒的追求.