高中数学中导数的工具作用及大众数学

邓文敏

导数及其应用是新课程中增加的一个重要内容，是高考中的一个热点。导数在研究函数的变化率，解决函数的单调性、极值和最值等方面有很大的作用，这种作用不仅体现在解决函数问题提供了有效的途径，还在于使学生掌握一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识。

既然是工具，一是具有针对性（针对某些问题），二是通常有较为固定的使用方法（相似的模式和步骤），三是对工具越熟悉，运用就越得心应手。下面我就几道例题谈一谈自己的一点体会，以期抛砖引玉。

例1：已知抛物线c1：y=x2+2x和c2：y=-x2+a，如果直线L同时是c1和c2的切线，称L是c1和c2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

（1）a取什么值时，c1和c2有且仅有一条公切线？写出公切线方程;

（2）若c1和c2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

分析：这是一道与曲线的切线相关的问题，与曲线的切线相关常常需要考虑切点与斜率，这样就与导数联系起来了。

解：设L与c1的切点是（x1，x21+2x1），L与c2的切点是（x2，-x22+a），则利用导数分别求出c1和c2的切线方程：y=（2x1+2）-x21，y=-2x2x+x22+a。

∵L是c1和c2的公切线，

∴ 2x1+2=-2x2

-x21=x22+a

∴ x1+x2=-1

x21+x22=-a

若只有一条公切线，则x1=x2=-，进而a=-，L：y=x-。

若有两条公切线，则由x1+x2=-1， 推出y1+y2=a-1，所以公切线段的中点（-）与k、b无关，所以公切线段互相平分。

例2：已知f（x）=ax3+bx2+cx+d在区间[-1，0]，[4，5]上有相同的单调性，

在區间[-1，0]，[0，2]上有相反的单调性，且f（x）=0有三个实根α，2，β。

（1）求C;

（2）求|α-β|。

分析：这是一道与函数的单调性、极值相关的问题，与单调性、极值相关常常可与导数联系。

解：①∵f（x）在区间[-1，0]，[0，2]上有相反的单调性。

∴x=0是f（x）的一个极值点，故f′（0）=0，

∴C=0

②依题知：f′（x）=0x=0、x=-2b/3a

∵f（x）在区间 [0，2]、[4，5]上有相反的单调性。

∴2≤-2b/3a≤4，∴-6≤b/a≤-3

设f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）α+β=-b/a-2，α·β=-d/2a

又f（2）=08a+2b +d=0d=-4（b+2a）

∴|α-β|==

∵-6≤b/a≤-3

∴当b/a=-6时，|α-β|=

当b/a=-3时，|α-β|=3

∴3≤|α-β|≤

例3：已知f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m。

（1）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）;

（2）是否存在实数m，使得y= f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。

分析：这是一道与函数的最值、图像相关的问题，与最值、图像相关常常可与导数联系。

解：①f（x）=-x2+8x，令f′（x）=0x=4。

当t+1<4，即t<3时，f（x）在区间[t，t+1]上递增，h（t）=f（t+1）=-t2+6t+7;

当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）= f（4）= 16;

当t>4时，f（x）在区间[t，t+1]上递减，h（t）=f（t）=-t2+8t。

综上所述：

-t2+6t+7 （t<3）

h（t）=   16 （3≤t≤4）

-t2+8t （t>4）

②函数y=f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有三个不同交点，即函数φ（x）=g（x）-f（x）的图像与X轴正半轴有且只有三个不同交点。

令φ（x）=x2-8x+6lnx+m，φ′（x）=2x-8+

（x>0）

当x∈（0，1）时，φ′（x）>0，φ（x）是增函数;

当x∈（1，3）时，φ′（x）<0，φ（x）是减函数;

当x∈（3，+∞）时，φ′（x）>0，φ（x）是增函数;

当x=1或x=3时，φ′（x）=0。

∴φ（x）极大值=φ（1）=m-7

φ（x）极小值=φ（3）=m+6ln3-15

当x无限接近0时，v<0，当x充分大时，φ（x）>0，

∴要使函数φ（x）的图像与X轴正半轴有且只有三个不同交点，必须且只需

φ（x）极大值=φ（1）=m-7>0

φ（x）极小值=φ（3）=m+6ln3-15<0

即7

∴存在实数m，使得y= f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点。

从上面几道例题中，可以看出：

（一）导数的工具性主要体现在：（1）求曲线的切线斜率，进而求曲线的切线方程;（2）求函数的单调性;（3）求函数的最值和极值;（4）作出函数的简图，进而判断曲线的形状及相关性质;（5）判断方程的根的范围等。

（二）常见方法与格式：求导、解f′（x）=0、判断单调性或构造函数后再如此进行，是常见的步骤。这样，有时候能使思维具有一般性，常于“山重水复疑无路”的境地中，欣逢“柳暗花明又一村”。

（三）曾经的数学是聪明人的学问，因为它的抽象、严谨、深奥，而披上神密的面纱，带有魔术色彩，使许多人望而生畏，望而却步，而现在的教育思想是除了尖端知识由精英学习、补充、发展外，主要的还是将数学作为一种培养和提高人的思维能力，使人聪明，有利于生活的大众数学，因此，数学教学中题型、方法的归纳显得尤其重要。