基于几何画板的圆锥曲线统一性的实验探究

潘颖艺

《高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.”基于几何画板的圆锥曲线统一性的探究，就是通过学生自己动手做数学实验，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程，亲身体验数学“再创造”过程，在探究中，不仅学会证明，也学会猜想.

下面以人教版《数学》选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》为例，尝试作以下三个方面的实验探究.

1. 圆锥曲线生成过程的动态模拟实验，直观地展示圆锥曲线形成的统一性

大家知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线是一个圆.那么，改变平面与圆锥轴线的夹角，将得到什么图形呢？

早在古希腊，阿波罗尼奥斯用同一个（正的或斜的）圆锥的截面来研究圆锥曲线，并发现双曲线有两支，而且在他的《圆锥曲线论》中引入抛物线（齐曲线）、椭圆（亏曲线）和双曲线（超曲线）的名称.

现在，尝试利用几何画板软件模拟生成圆锥曲线的动态轨迹.

教师指导学生制作动态课件，一系列繁琐的制作步骤，精细的尺规作图，以及制作中观察、思考、合作交流和讨论，学生就像“数学家”一样，亲身经历圆锥曲线产生、形成的全过程，体会跌跤中如何摸索前进，以及顽强地探究他们所攻问题的勇气.课件完成后，学生动手拖动平面M′N′N（如图1所示），教师及时引导学生观察：截面M′N′N与圆锥轴线的夹角大小不一样时，得到不同的截口曲线，即圆、椭圆、抛物线、双曲线.从直观感知、操作确认，加深对曲线的不同形状的理解.

因此，圆锥曲线形成的模拟实验，学生不仅追寻圆锥曲线生成的历史足迹，而且感受到圆锥曲线的“统一美”.

2. 从三种圆锥曲线各自的定义到统一的定义的多元表征，再次领悟圆锥曲线的发展过程的统一美

平面内到定点的距离等于定长的动点的轨迹是圆.那么，平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆吗？打开几何画板软件，能否用尺规作图的方法获取轨迹呢？

作定圆F1，半径为定长r，点F2是圆内的一个定点，点P是圆上任意一点，线段PF2的垂直平分线和直线PF1相交于点Q，当点P在圆F1上运动时，标记点Q的轨迹.如图2所示.

观察：绘制的点Q的轨迹是一个椭圆；利用几何画板的度量功能，列出图3中表格数据后再次发现：当点P在圆F1上运动时，QF1 + QF2 = 3.93，并且常数3.93始终保持不变，符合椭圆的定义.

思考：（1）当点F2在圆内移动时，QF1 + QF2是否仍保持某一个常数不变呢？

（2）是否不管r多大，总是可以作出椭圆呢？（让学生测量|PF1|和|F1F2|的长度，加深对条件2a > |F1F2|的认识）那么，如何证明点Q的轨迹是一个椭圆？

探究：慢慢地拖动点F2到圆F1外，观察这个过程轨迹怎样变化？（椭圆越来越扁，最后轨迹消失）

想一想：椭圆为什么消失呢？（此时，2a < |F1F2|，不能构成椭圆）

从图形观察得到，椭圆是线段PF1与线段PF2的中垂线的交点轨迹.拖动点P在圆F1上运动，线段PF1与线段PF2的中垂线始终不相交，但与线段PF1所在直线相交，表明轨迹存在，猜想：点Q的轨迹是什么呢？

此时，结合椭圆探究过程，采用类比推理方法，获取如图4所示的双曲线.

继续探究（极限化）：若圆的半径取无穷大（圆周近似为一条直线，圆心在无穷远处），那么线段PF2的中垂线与半径所在直线PQ的交点轨迹就是抛物线了.

因此，点F2在圆内、外位置关系的不同以及圆的大小不同，获取了不同的曲线（椭圆、双曲线、抛物线），实现了圆锥曲线在概念上初步的统一.

追溯数学史，欧几里得在《几何原本》中描述：平面内到定点F和定直线l的距离之比等于常数e的动点P的轨迹就是圆锥曲线.现在，利用软件对该描述进行验证和探究：（如图5所示）

两边平方并化简、整理得：（1 - e2）x2 + y2 - 2（c + e2p）x + c2-e2p2 = 0.

这就是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）在直角坐标系中的统一方程.

综上，从用平面去截对顶圆锥、尺规作图画平面曲线到曲线统一方程推导，圆锥曲线的“美”源自统一，展示出数学理性思维的“美”.

3. 圆锥曲线光学性质的应用，展示出圆锥曲线在实际应用中的“统一美”

焦点，即光线的聚集点，椭圆、双曲线和抛物线都有焦点，因此，圆锥曲线与光有紧密的联系.继续利用几何画板软件进行模拟实验.

动手作图，观察图6：在椭圆上任取一点Q，连接QF1，QF2，作∠F1QF2的角平分线交F1F2于点D，过点D作QD的垂线L，直观发现：∠AQF1和∠BQF2可能相等.

利用度量功能，观察获取的表格数据（如图7所示）：点Q的位置不同，∠AQF1和∠BQF2保持大小相等.

猜想：若直线L为椭圆的切线，椭圆的光学性质就得以验证，那么，该如何证明呢？

4. 探究思考

主编寄语说：“数学是自然的.”在圆锥曲线的发现、生成、发展和应用的过程中，圆锥曲线的“统一美”实际上是水到渠成、浑然天成的产物.基于几何画板的圆锥曲线统一性的实验探究，就是创设适当的实验情境，通过“观察”“思考”“探究”等活动的带领，引导学生去发现问题，提出和解决问题，这也正是数学教学大力提倡的.

【参考文献】

[1]教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书·数学5（必修）[M].北京：人民教育出版社，2011.