注意创新，注重“双基”

许世敬

【摘要】 高考数学立体几何占有一定的比重，在整个高中知识体系中也具有一定的地位. 笔者从一道三明市质检题中，总结了几点思考，摸索出高考立体几何命题的几个热门趋势. 此外笔者发现，在数学教学中教师应该引导学生注重“双基”的掌握，注意创新能力的培养.

【关键词】 立体几何；创新；双基；知识点的交汇；存在性问题

立体几何作为高中数学几大主干知识之一，是各省高考数学必考的一块内容，在整个高中数学体系中具有一定的地位. 近年来，随着高考改革的不断深入与创新，立体几何的试题渐渐不再像以往那样简单地阐述，也不再局限于立体几何内部. 别具一格的立体几何题，要求学生对所学的内容要融会贯通，既要注意创新，又要注重“双基”.

下面，由一道立体几何题引发了几点思考. （福建省三明市普通高中毕业班质量检查（数学理）第19题）

某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求AB，BE边的长分别为20 cm和30 cm外，还特别要求包装盒必须满足：① 平面ADE⊥平面ADC；② 平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60°；③ 包装盒的体积尽可能大.

若设计出的样品满足：∠ACB与∠ACD均为直角且AB长20 cm，矩形DCBE的一边长为30 cm，请你判断该包装盒的设计是否符合客户的要求？说明理由.

思考一：敢于创新，作出新的尝试

这道质检题对立体几何题的出题方式做了大胆的创新. 第一，题目以应用题的方式出现，大部分学生首次接触，望“题”兴叹. 不管是初中还是高中的学生，应用题都是学生心目中难以磨灭的“痛”. 应用题一般信息量大、审题难、理解难、分析难、计算难等，这些都导致学生面对应用题时，容易对题目产生“缴械投降”的心理. 本道题一反常态，联系生活以应用题的形式来考查，这一新的改变给学生审题带来了挑战，让学生认识到立体几何的灵活性，这打破了学生对立体几何的思维定式. 此题无法直接运用平时的解题思路和模式，它需要学生真正理解几何中垂直平行的证明和角度距离的计算. 第二，本题提问的方式独具匠心，引导学生先作出判断进而证明，满足的条件即是要证明的三步. 这样的提问方式，充分展示了应用题的特点——审题难. 考试结束后，大部分学生表示，无法理解题意，要求做什么都不清楚. 其实，认真分析之后可以发现，本题应用了语文中的倒装，题目的结论实际上是已知，而已知才是要证明的结论.

此题应该引发学生对立体几何出题方式的重视，学生必须克服应用题这个难关. 立体几何的应用题化是一个新的发展趋势，它同样能收到应有的考查效果. 在很多省市这种相同的类型习题相继出现.

思考二：掌握“双基”，万变不离其宗

这道质检题虽然有着应用题的“外表”，但实际考查的只是立体几何的基本知识和基本方法. 高考中，在立体几何这部分，一般围绕证明和计算展开. 证明包括线线、线面、面面的垂直和平行的证明，这要求学生熟练掌握课本中的定理和性质，本题中的第一步就是证明面面垂直. 而计算则包括异面直线、线面、面面所成的角以及距离和体积的计算，此题的第二、三步就是分别计算二面角和体积. 对于计算，理科学生可借助向量法直接运算，而文科必须经历“寻找、证明、计算”三步来解决. 但不管何种方法，这都属于立体几何的主干内容，是可以预测的必考内容. 因此，在平时的教学过程中，夯实“双基”才是重中之重. 只有把主干知识、主要方法彻底理解掌握，那么无论题目如何变化，你都将得心应手.

思考三：融会贯通，理清知识的交汇

近年来，考查知识点之间的交汇也是高考命题的一个趋势. 本道质检题中的第三步求体积的最大值，涉及基本不等式或者求导，这就不再局限于立体几何的知识，而是借助几何考查其他知识的重要内容和方法，体现综合考查的功能. 这就意味着在数学教学中，要善于引导学生有效地把握知识间的纵横联系和综合创新应用，对所学内容融会贯通，形成有序的网络化知识体系，以开阔视野，形成能力，全面提高数学素养. 像这样以立体几何为背景，考查解析几何、函数、导数、三角、数列、概率等主干内容，在各地的高考命题中呈现显著趋势，提高了知识技能应用的综合性和解题的灵活性.

（2014年福建理科模拟卷）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 （ ）.

A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线

此题考查的是立体几何与解析几何的交汇知识.

思考四：化动为静，解决存在性问题

存在性问题也是高考立体几何中一道亮丽的风景线，本道题中问是否符合客户要求，即是否存在的意思. 一般这个类型可以直接从正面入手，也可以从结论假设出发进行求解. 在本题中BC边是未知的、是变化的、是动的，但是我们解题时以一个参数暂时固定下来，转化为静，然后推导论证，在满足题意的情况下解决了动态的参数. 立体几何存在性是近几年高考热点之一，这种类型有利于考查学生归纳、判断等各方面的能力，也有利于创新意识的培养. 因此，在教学中必须注重培养学生化动为静的思维方法，引导学生观察动中有静，解决动中求静.

新课程下的高考立体几何题虽然千变万化，但实际上还是紧紧围绕着其核心内容与主要思维方法. 从上述的题目中，我们隐隐约约看到了立体几何的几个热门趋势，平时应加以注意. 在数学教学过程中，教师作为主导，学生作为主体，应引导学生积极参与数学知识的建构过程，培养学生的思维能力. 在注重“双基”的同时，引导其注意创新，全面提高领会立体几何的水平. 从而，让学生在高考的这部分内容中，立于不败之地.