格的序结构与代数结构

米泓颖

【摘要】基于序理论，研究拟序与偏序之间的差异点，探讨序结构下的格.根据格理论中代数格与偏序格结构的不同点，验证了半格在偏序结构和代数结构的等价性.

【关键词】序；格；半格

在GeorgeGrtzer的专著《General Lattice Theory》，《The Congruences of a Finite Lattice》以及陈杰的《格论初步》中得到了以下结果：

结果1 （1）设偏序集L=（L，≤）是格，令a∧b=inf{a，b}，a∨b=sup{a，b}，则代数La=（L，∧，∨）是格.

（2）设代数L=（L，∧，∨）是格，令a≤b当且仅当a∧b=a，则LP=（L，≤）是偏序集，也是格.

（3）设偏序集L=（L，≤）是格，则（La）P=L.

（4）设代数L=（L，∧，∨）是格，则（LP）a=L.

即格的代数定义与偏序定义是等价的.我自然会想到半格的代数定义与偏序定义是否一致呢？本文展开此问题讨论.

结果2 P为有限序集，a≤b当且仅当a=b或存在元x1，x2，…，xn的有限序列使得a=x11 序结构的格

定理1.1 A为群G所有子群之集，X，Y∈A，集合X≤Y即XY，证明：A，≤是格.

证明 由已知，

（1）X∈A，有XX，即X≤X.

（2）X，Y，Z∈A，X≤Y，Y≤Z，可推XY，YZ，即XYZ，有XZ，得X≤Z.

（3）X，Y∈A，X≤Y，Y≤X，可推XY，YX由集合包含关系有X=Y，故A，≤是偏序集.对X，Y∈A有infX，Y=X∩Y∈A，而supX，Y=X∪Y未必属于A.由生成子群的性质，令supX，Y为包含X，Y的最小子群H，则子群H∈A.即H=xx∈Xor x∈Y，supX，Y=H生成的最小子群.根据定理，任意两元其上、下确界都存在，A，≤是格.

定理1.2 P，≤是偏序集，其中HP有infH存在，证明：P，≤是格.

证明 a，b∈P，令H为a，b所有上界之集，则对h∈H有a≤h，b≤h，由题设存在infH.h1，h2∈H，a≤h1，a≤h2，所以a≤h1∩h2，故a≤infH，同理b≤infH，所以infH是a，b的上界，又因为infH是上界之集H的下确界，即infH是a，b最小上界，即supa，b=infH.a，b∈P，由上述证明supa，b存在，且infa，b存在，故P，≤是格.

2 半格在偏序结构和代数结构的等价性

定理2.1

（1）令偏序集U=A，≤是并半格，a∨b=supa，b，则Ua=A，∨是半格.

（2）令U=A，∨是半格，a≤b当且仅当，a∨b=b，则UP=A，≤是偏序集，且UP是并半格.

（3）令偏序集U=A，≤是并半格，则UaP=U.

（4）U=A，∨是半格，则UPa=U.

证明 （1）①由于a∨b=supa，b=supb，a=b∨a，满足交换律.

②又有a∨b∨c=supsupa，b，c，設d=supsupa，b，c，a∨b∨c=supa，supb，c，设d′=supa，supb，c，易见d≥supa，b，c，即d≥a，b，c.因为d≥b，cd≥supb，c，又因为d≥a，所以d≥d′.同理，d′≥a，supb，c即d′≥a，b，c.因为d′≥a，bd′≥supa，b，又因为d′≥cd′≥d，故d=d′，满足结合律.

③a∈A，易见a=supa，a，即a=a∨a，满足幂等律.

综上所述，Ua=A，∨是半格.

（2）①a∈U，a∨a=a，故a≤a，满足自反性.②若a≤b，又b≤a，即a∨b=b.又b∨a=a，则有a=b，满足反对称性.③若a≤b，又b≤c，即a∨b=b，b∨c=c，所以a∨c=a∨b∨c=a∨b∨c=b∨c=c，所以有a≤c，满足传递性.故UP=A，≤是偏序集.

因为a∨b∨a=a∨b，故a≤a∨b，a∨b∨b=a∨b，故b≤a∨b.所以a∨b是a，b一个上界.设d为a，b一个上界，所以d≥a且d≥b即d∨a=d，d∨b=d，故d∨a∨b=d∨a∨b=d∨b=d，所以d≥a∨b，即a∨b为a，b的上确界.故UP是并半格.

（3）若a≤b，a∨b=supa，b=b，即a∨b=b.由（2）知a≤′b即≤≤′.另一方面，若a≤′b，有a∨b=b.由（1）a∨b=supa，b，有supa，b=b，故a≤b，所以≤′≤，得≤=≤′，即UaP=U.

（4）a，b∈A，在UP中a≤b当且仅当a∨b=b，a∨b∨a=a∨b，所以a∨b≥a.a∨b∨b=a∨b，所以a∨b≥b.设d≥a，d≥b，d∨a=d，d∨b=d，d∨a∨b=d∨a∨b=d∨b=d.所以d≥a∨b，故a∨b为a，b在UP中的上确界.所以a，b∈A，a∨b=supa，b.故∨=sup，所以UPa=U.

对偶的，我们可以得到以下结论：

定理2.2

（1）令偏序集U=A，≤是交半格，a∨b=supa，b，则Ua=A，∨是半格.

（2）令U=A，∨是半格，a≤b当且仅当a∧b=a，则UP=A，≤是偏序集，且UP是交半格.

（3）令偏序集U=A，≤是交半格，则UaP=U.

（4）U=A，∧是半格，则UPa=U.

3 序集及其相关性质

拟序定义是满足偏序定义中的两项，若使拟序与偏序定义等同，则需要加强其条件.并且以往研究的拟序，偏序都是在其有限的条件下，若在无限的条件下，需要进一步进行定义.

定义 在非空拟序集Q中，a，b∈Q，有a≤b或b≤a，则称其为拟链.

定义 若b≠a使得a≤b≤a，且除去终点的a是一个拟链，则称其为由a开始到a的无限环.

在新的定义下，有如下结论：

定理3.1无限拟序集为一个偏序集当且仅当不存在环.

证明 必要性：若存在环，则必可以找到一个环从a开始到a.由无限环定义b≠a满足a≤b且b≤a.由拟序定义有a=b，这与无限环定义矛盾.

充分性：对满足a≤b且b≤a的a，b，由拟序的两种情况可知：a=b或者a≠b.

若a=b，结论显然成立.

a≠b时，由a≤b可知存在一条拟链H连接a，b；同理可知，b≤a时，也存在一条拟链H′连接b，a.合并两条拟链得到一个从a到a的无限环.事实上，b≠a，使得a≤b≤a，且除去终点的a是一个拟链，则找到了环，矛盾.证明完毕.

【参考文献】

[1]陈杰.格论初步[M].呼和浩特：内蒙古大学出版社，1990.

[2]方捷.格论引导[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]GRATZER G.General lattice theory[M].ACADEMIC PRESS，NEW YORK，SAN FRANCISCO，1978.

[4]GRATZER G.The Congruences of a Finite Lattice[M].ACADEMIC PRESS，NEW YORK，2006