高职数学行列式的计算方法

张新绒

【摘要】行列式是线性代数的基础，根据高职学生的数学基础和需要，通过具体实例介绍了行列式的几种计算方法.

【关键词】高职数学；行列式；求解方法

行列式是高职院校高等数学课程里基本而重要的内容之一，但从深度和广度上来说相对简单，教学安排上要求学生掌握行列式的基本概念、基本性质及相关应用，最终的教学目的要求学生掌握低阶行列式的求解方法.

根据行列式的性质及线性方程组存在的本质联系，高职阶段对低阶行列式的求解方法大致有以下几种：

方法1：对角线法则（对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，四阶及四阶以上的行列式不适合用）

二阶行列式a11a12a21a22=a11a22-a21a12.

三阶行列式 a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13-a31a22a13-a21a12a33-a32a23a11.

方法2：化三角形法（运用行列式的性质，将行列式化为上或下三角行列式）

D=a11a12…a1n0a22…a2n…………00…ann=a11a22…ann. D=a110…0a21a22…0…………an1an2…ann=a11a22…ann.

例1 计算行列式D=abbbbabbbbabbbba的值.

解 D=abbbbabbbbabbbbar1+r2r1+r3r1+r43b+a3b+a3b+a3b+ababbbbabbbba=（3b+a）1111babbbbabbbba.

r2+（-b）r1r3+（-b）r1r4+（-b）r1（3b+a）11110a-b0000a-b0000a-b=（3b+a）（a-b）3.

方法3：降阶法（代数余子式法）

D=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAini=（1，2，…n），（按第i行展開），或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnjj=（1，2…n），（按第j列展开）.

用行列式的性质使某行或某列的零元素充分多，再按该行或该列展开.

例2 计算行列式D=11240-12110130121的值.

解 D=11240-12110130121r3-r111240-1210-1-1-10121=1×（-1）1+1-121-1-1-1121r1+r3r2+r3042010121=1×（-1）3+14210=0-2=-2.

方法4：升阶法（加边法）

有时为了计算行列式，在保值的前提下特意给行列式加上一行一列使之更容易计算，这种计算行列

式的方法称为加边法.加边法适用于所加边的元素与原行列式中的元素有相等或倍数关系，或原行列式

中有“大片”元素相同的行列式.

【参考文献】

[1]郭群虎.应用数学[M].北京：冶金工业出版社，2012.

[2]韩田军，郑丽.线性代数[M].北京：科学出版社，2008.

[3]黄卫东.大学数学实验[M].天津：大学出版社，2007.