例谈整式乘除与因式分解学习的几点问题

师慧玲　涂敏

【摘要】《整式的乘除与因式分解》这一章设在人教版初中数学教科书八年级上册，这一学段的学生已具备了一定的知识经验，有一定的发展空间.然而这一部分的学习却存在许多问题.本文列举了这一部分学习过程中存在的问题并分析原因，提出了一些改进建议，希望能为学生和教师的学习和教学注入一份灵感.

【关键词】因式分解；整式乘除；问题

在学习《整式的乘除与因式分解》这一章之前，学生们已经通晓了整式的加法和减法，乘方这些知识，有了对整式加减法和乘方的了解，学生在掌握整式的乘除法则过程中才不至于措手不及，接下来学习因式分解时就更加得心应手.然而不管学习什么总会遇到问题.下面是这一章学习过程中的一些常见问题，我通过列举一些题目来把这些问题清楚地阐述出来，并从我教学辅导积累的经验中剖析这些问题，分析其原因，找到解决问题的方法供大家参考.

一、因式分解与化简的混淆问题

学习到因式分解这部分，学生常会混淆“因式分解”和“化简求值”这两种题目，以至于每次遇到这种题目不知道哪种结果才是最简的.请看以下两道例题：

题目要求：将下列式子因式分解：（以下部分是学生的做法）

例1 m2n（m-n）2 -4mn（n-m）

=m2n（m2-2mn+n2）-（4mn2-4m2n）

=m4n-2m3n2+m2n3-4mn2+4m2n

例2 （x+y）2+64-16（x+y）

=x2+2xy+y2+64-16x-16y

=x2+y2+2xy-16x-16y+64

可以明显地发现，学生普遍都犯了一个错误，在做因式分解题目时，学生按化简题目来做，直接将式子进行整式的乘除得到一个不含括号的多项式，看似是最简结果，不能再化简了，须知这是一道因式分解的题目，而因式分解的概念是这样说的：“把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.”因式分解是从一个多项式到几个整式的积，结果中含有括号，而且括号之间是乘法关系，而化简实质就是整式的乘除，最后结果是一个不能再继续化简的多项式，有加减号连接，式子中没有括号，没有同类项.所以上面的例题1和2这样解答才是正确的：

例1 m2n（m-n）2-4mn（n-m）

=mn2（n-m）2-4mn（n-m）

=mn（n-m）[n（n-m）-4]

=mn（n-m）（n2-nm-4）

例2 （x+y）2+64-16（x+y）

=（x+y-8）2

二、整式乘除中幂和乘方的运算问题

在学习整式的乘法与除法时，学生对同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，总会出现混淆和各种各样的错误，以至于在做整式乘除法的综合题目时总会一招不慎，全盘皆输.看下面学生们作出来的几道例题：

例1

1.5y3·3y5=15y15 2.2x2·3x2=6x2

3.2x2+3x2=6x4 4.3a3·2a2=6a6

5.（a5）2=a7 6.（b2）3=b5

7.b6÷b2=b3 8.a3÷a=a3

很明显，上几道题都是错误的，首先在整式的乘除法中我们学习了两个法则，am·an=am+n，am÷an=am-n.而第1，4，8题都犯了同样的错误：遇到同底数幂相乘或相除的题目，学生普遍把指数相乘或相除而不是相加或相减.

其次，在整式的乘除法中，我们还学了一个法則，那就是（am）n=amn，而在做题中学生还是会用错这个法则，错法也是比比皆是.比如上面例题中的第5、6题，本应该把括号中的指数和括号外面的指数相乘求得积作为最后的指数，而这俩题中把括号里面和外面的两个指数相加求得的和作为了最后的指数.这种错误是很常见的.

另外一个需要着重强调的是如何正确区分“x2·x2”和“x2+x2”，首先，“x2·x2”属于同底数幂相乘，所以直接按照规则：am·an=am+n，可得x2·x2=x4.而“x2+x2”属多项式相加，而且是两个同类项，所以只需将这两个同类项的系数相加，可得x2+x2=2x2.而例题中的第2、3小题犯的错误就是误将同类项的系数相乘，指数相加或者把同底数幂相乘当做两个同类项相加.

这些问题和学生对公式的由来了解不深，练习不多息息相关.

三、平方差和完全平方公式的记忆和灵活运用问题

在学习平方差公式和完全平方公式时，学生对公式的由来产生曲解，总会出现漏记.尤其是在记忆完全平方公式时学生们总会把中间的2ab漏掉，或者把加减号的变化弄错.这是公式的记忆漏洞；另外就是在做题过程中很难熟练地看出这个式子是平方差公式还是完全平方公式，以至于在进行因式分解和化简时，总是不能很快下手解决题目.这些问题与学生的知识掌握不扎实，练习不够有关，更重要的就是学生的整体思想有待发展完善.

四、建 议

上面的三个大问题是《因式分解与整式的乘除》中存在的重要问题，当然还存在一些其他问题，比如十字相乘这个因式分解法掌握起来比较吃力，还有就是学生对因式分解方法不能熟练灵活地应用，对提公因式，十字相乘，公式法不能运用自如，还有就是学生遇到一些综合性的问题不能找到切入点.总之，问题层出不穷，教师和学生必须一起配合，共同发现问题，认识到问题的重要性，集中精力切入到问题要害，解决掉这些疑难.教师要多以专题的形式反复给学生强调一些容易混淆的概念或定理，指导学生寻求法则和概念的根源和合理性，让学生有的放矢.其次，教师应该想方设法利用各种模型和专题讨论练习培养学生的整体思想，学生也应该认识到这些知识的重要性，集中注意力，关注每一个出错环节，细心很重要.