王庶
函数作为高中数学的核心内容,它的观点及思想方法贯穿于整个高中数学的全过程,成为高考中考查数学思想方法、能力素质的主要内容. 本文结合近几年高考试题中出现的函数定义域、值域问题,进行归纳分析,以供读者参考.
函数的定义域
常见的函数定义域问题主要是关于根式、分式、对数函数、指数函数等函数定义域问题,通常以选择题、填空题的形式呈现.
1. 常见函数定义域问题
例1 函数[f(x)=4-|x|+lgx2-5x+6x-3]的定义域为( )
A. (2,3) B. (2,4]
C. (2,3)[?](3,4] D. (-1,3)[?](3,6]
解析 由函数[f(x)]的表达式知,其定义域应满足,
[4-|x|≥0,x2-5x+6x-3>0,] 解之得[-4≤x≤4,x>2,x≠3.]
即函数[f(x)]的定义域为(2,3)[?](3,4].
答案 C
解读 根式型函数、分式型函数、绝对值型函数、对数函数等定义域问题在历年高考中多次被考查. 解决此类定义域问题,为防止错解,应该先逐个列出满足函数有意义的不等式关系,然后逐个求出相应[x]的取值范围,最后取各个不等式的交集.
2. 抽象函数定义域问题
例2 已知函数[f(x)]的定义域为[[0,2]],求函数[f(x2-2)]的定义域.
解析 此题是一道抽象函数定义域问题,已知[y=f(x)]的定义域求函数[y=f[g(x)]]定义域问题,通常运用整体代换的方法求解.
[∵f(x)]的定义域为[[0,2]],
[∴0≤x2-2≤2, ∴2≤x2≤4, ∴2≤x2,x2≤4,]
[∴x≥2或x≤-2,-2≤x≤2, ∴x∈[2,2]?[-2,-2]].
解读 这种题型一般分为两种情况:一种是已知[y=f(x)]的定义域[A],求[y=f[g(x)]]的定义域;一种是已知[y=f[g(x)]]的定义域[A],求[y=f(x)]的定义域.不管是哪种情况,在解决这类问题时一定要注意函数的自变量、定义域是什么. 此外整体代换的思想是解决此类问题的主要方法.
函数的值域
从历年的高考试题中可以看出二次函数、指数函数、对数函数等值域问题出现的频率较高. 这类值域问题往往要通过函数的基本性质或结合函数图象、不等式等来求解.
1. 二次函数的值域
例3 求二次函数[y=-x2+4x-2],[x∈1,4]的值域.
解析 配方得[y=-(x-2)2+2],[x∈1,4],求得对称轴为[x=2.]
根据开口方向结合函数图象特征,求得二次函数的值域为[{y-2≤y≤2}].
解读 解决此类问题的方法是先根据二次项系数判断开口方向,其次是看能否通过配方法求得二次函数的对称轴,最后结合图象运用二次函数的对称性求解.
2. 指数、对数函数的值域
例4 求函数[y=4-x-2-x+1,x∈[-3,2]]的最大值与最小值.
解析 [∵y=4-x-2-x+1=(2-x)2-2-x+1],
令[2-x=t],则[y=t2-t+1].
又[∵x∈[-3,2], ∴14≤t≤8].
即[y=t2-t+1],[14≤t≤8].
[∴y=t2-t+1=(t-12)2+34],[∴34≤y≤57].
例5 求函数[y=log2x2?log2x4,x∈[1,8]]的最大值和最小值.
解析 由对数的运算性质可得,
[y=(log2x-1)·(log2x-2)],
展开整理得,[y=(log2x)2-3log2x+2].
令[log2x=t],[x∈[1,8]],
则[y=t2-3t+2,t∈[0,3]].
配方得,[y=(t-32)2-14][,t∈[0,3]],
[∴-14≤y≤2].
解读 指数、对数函数问题,其主要方法是运用换元法将指数、对数函数问题转化为我们熟知的函数形式,比如转化为二次函数、一次函数形式. 在转化过程中往往用到指数、对数的运算性质,在换元替代后还应注意新变量的取值范围.
3. 运用导数求函数值域
例6 已知函数[f(x)=ex-ax2-bx-1],其中[a,b∈R],[e]=2.71828…为自然对数的底数,设[g(x)]是函数[f(x)]的导函数,求函数[g(x)]在区间[0,1]上的最小值.
解析 这是一道典型的运用导数求值域的问题.
由[f(x)=ex-ax2-bx-1]得,
[g(x)=f(x)=ex-2ax-b],所以[g(x)=ex-2a.]
又[x∈[0,1]],[g(x)∈[1-2a,e-2a]].
(1)当[a≤12]时,[g(x)]≥0,
所以[g(x)]在[0,1]上单调递增.
因此[g(x)]在[0,1]上的最小值是[g(0)=1-b].
(2)当[a≥e2]时,[g(x)]≤0,
所以[g(x)]在[0,1]上单调递减.
因此[g(x)]在[0,1]上的最小值是[g(1)=e-2a-b].
(3)当[12所以函数[g(x)]在区间[[0,ln(2a)]]上单调递减,在区间[(ln(2a),1]]上单调递增.
因此,[g(x)]在[0,1]上的最小值是
[g(ln(2a))=][2a-2aln(2a)-b].
综上所述,当[a≤12]时,[g(x)]在[0,1]上的最小值是[g(0)=1-b];当[12