函数的概念,有“你”更精彩

2015-05-30 20:37李秀兰
中学生数理化·高一版 2015年8期
关键词:数集平方根算术

李秀兰

函数的概念是学习函数的基础,函数是高中数学的核心内容。让我们一起来了解“函数”吧。

一、函数的概念,精彩纷呈

设A,B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中郁有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记作y=f(x),x∈A,其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域。

需要注意的是:(1)函数y=f(x)也经常写作函数f(x),在函数关系式中,函数的定义域为全体实数时可以省略不写,如函数y=2x+l(x∈R)往往写成y =2x+1。(2)对y=f(x)即“y是x的函数”的理解:x是自变量,它是对应法则所施加的对象,f是对应法则,它可以是一个或几个代数式,可以是图像、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为该自变量值相对应的函数值。

例1 下列对应是从A到B的函数的是____。

(1)A=R,B={x|x>0},对应法则f:x→|x|。

(2)A=Z,B=N,对应法则f:A→B,求平方。

(3)A=Z,B=Z,对应法则f:A→B,求算术平方根。

(4)A=[-2,2],B=[-3,3],对应法则f:A→B,求立方。

解:可结合函数的定义来判断。

(1)不是函数,A中的元素0在B中没有元素与它对应。

(2)是函数,符合函数的定义。

(3)不是函数,A中的负数没有算术平方根,可知B中没有元素与它对应。

(4)不是函数,集合A中的元素2,求立方后不在集合B中,可知在B中无元素与它对应。

答案为(2)。

评注:判断一个对应关系是否为函数关系,除构成对应的两个集合是数集外,更重要的是判断任意给定的x值是否有唯一的y值与之对应,即“取元的任意性,取值的唯一性”,这是判断一个对应关系是函数关系的重要依据。

二、函数的定义域,理解是关键

函数的定义域主要是通过解不等式(组)来获得的,若不加以说明,所谓函数的定义域就是使函数表达式有意义的输入值的集合。

例2 求下列函数的定义域:

评注:求函数的定义域往往需要将问题转化为解不等式或不等式组。函数的定义域可以用集合表示,也可以用区间表示。

例3 (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3].求函数f(2x+1)的定义域。

(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域。

解:本题属于复合函数的定义域问题。若函数y=f(t),t=g(x),则称函数y=f[g(x)]为复合函数,而该函数的定义域是由y=f(t),t=g(x)共同决定的,可认为在对应法则f的作用下,g(x)是在y=f(t)的定义域内取值的。

(1)函数f(x)的定义域为[1,3],即x∈[1,3]

函数f(2x+1)中的2x+l的范围与函数f(x)中的x的范围相同,则l≤2x+1≤3,即0≤x≤1,可得f(2x+1)的定义域为[0,1]。

(2)由x∈[1,3],可得2x+1∈[3,7],即函数f(x)的定义域是[3,7]。

评注:在解决上述问题中要注意作用对象的范围,从而正确求出函数的定义域。

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