带电微粒进入有界磁场区域的最值问题分析

高翔

不同比荷的带电微粒以不同速度进入有界磁场区域，磁回旋的半径因比荷的不同而存在差异，同时由于进入的方向不同，造成了磁回旋路径的差别。因为受到有界磁场边界的限制，使得磁回旋路径受到相应的限定，所以磁回旋的圆心角和所夹的弦长也就不同，从而使得磁回旋的时间和路径的长短存在差异。

从问题呈现的方式看：通过确定进入和射出有界磁场的位置点来求解磁回旋对应的弦，通过弦长的最值求解磁回旋路径的长短，或者通过寻找磁回旋的圆心角求解磁回旋经历的时间，其中求人射速度或比荷是解决此类问题的切人点。

一、粒子从确定的位置以确定的速率进出有界磁场区域的最值问题分析

例1，如图1所示为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸而向里的匀强磁场，磁感应强度大小B = 2.0×10-3 T，在x轴上到坐标原点O的距离L=0.50m的P处为离子的入射口，在y轴上安放接收器。现将一带正电的粒子以v=3.5×10 4m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上到坐标原点O的距离L=0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电荷量为q.不计其重力，则上述粒子的比荷是（）。

A.3.5*10 7，

B.4.9×10 7

C.5.3×l0 7

D.7×10 7

认知及思维障碍分析：

（1）粒子以大小确定的速率从确定的位置进入和射出有界磁场区域发生磁回旋，虽然我们知道进出的位置，但不知道进与出磁场的方向，容易错误地认定从P和M处垂直边界进出有界磁场，将磁回旋半径认定为r=L，审题不清将导致错误建立磁回旋过程模型。

（2）逻辑推理磁回旋的最大半径是解决问题的关键。

解析：由牛顿运动定律得 ，解得r-，即磁回旋半径 ，磁回旋的半径随着比倚的变化而改变。欲求最大的旦，只要寻求最小磁回旋半径即可，即进出磁场的位置成为磁回旋的直径时方可满足，连接MP，则半径，从而求得4.9×l0 7 C/kg。答案为B。

二、粒子从确定的位置以确定的速度进入三角形磁场区域的最值问题分析

粒子从确定的位置以确定的速度进入三角形磁场区域，磁回旋半径随着磁感应强度的变化而改变，这也使得磁回旋的径迹随半径的变化而变化，但由于三角形区域的限制，使得磁回旋的径迹不能随意增大，边界限制就成为求解问题的切入点。

例2如图2所示的平面直角坐标系xOy，在第一象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第四象限内的正三角形abc.区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的p（O，h）点，以大小为v。的速度沿x轴正方向射人电场，通过电场后从x轴上的a（2h，O）点进入第四象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第三象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求：

（1）电场强度E的大小；

（2）粒子到达a点时速度的大小和方向；

（3）abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。

认知及思维障碍分析：

（1）理清先后发生的物理过程，明确前后物理过程衔接的物理量“速度”和承递发生的“位置”是求解问题的前提。带电粒子先后经历在匀强电场中的类平抛运动，从确定的位置a（2h，O）射出电场，进入正三角形匀强磁场区域。通过类平抛运动始末位置可以求解电场强度和粒子到达a点时的速度。

（2）求解的难点是粒子经过磁回旋与y轴负方向成45°角射出三角形磁场，我们仅知道磁回旋后粒子的速度，尽管知道与y轴负方向相交，但交点在哪儿未知，因此从何位置射出有界磁场未知，我们也就无法确定磁回旋的径迹。同时由于三角形磁场边界的限制，使得磁回旋的径迹不能随意扩大，因此利用磁场边界约束，根据，，利用，通过最大的磁回旋半径寻求B的最小值就成为解决问题的重要方法。

（3）由于运动电荷从确定的位置以恒定的速度进入正三角形磁场区域，根据圆的对称性可知，粒子必然从正三角形对称点b射出而不会存在与三角形的边长bc相切这一限制。因此，利用圆的对称性就成为通过作图法寻求射出磁场位置点的有效方式。

解析：（1）设粒子在电场中运动的时间为t，粒子在x轴方向上做匀速直线运动有x=2h=vot，在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动有y-，解得

（2）粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度，所以，与x轴正方向成45°角。

（3）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿运动定律得qvB= ，解得 。根据圆的对称性可知，粒子从与a点对称的b点射出时磁回旋半径最大，磁场的磁感应强度有最小值，如图3所示，则，解得B=。

三、粒子从确定的位置以确定的入射方向进入圆形有界磁场区域的最值问题分析

粒子以确定的运动方向进入圆形有界磁场，磁回旋半径随入射速度的变化而正比例增加，使得磁回旋的圆心角随磁回旋半径的增大而减小，磁回旋时间减小，所夹的弦减小使得磁回旋的路程变短。磁回旋经历的时间随圆心角或者磁偏角的变化而同步改变。

例3 如图4所示，在以O为圆心的圆形区域内，有一个方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=O.lT，圆半径R=10√3 cm，竖直平行放置的金属板连接在如图所示的电路中，电源电动势E=91V，内阻r=1Ω，定值电阻R1=20Ω，滑动变阻器R2的最大阻值为70Ω。两金属板上的小孔S1、S2与O点在垂直于极板的同一直线上，另有一水平放置的足够长的荧光屏D，0点与荧光屏D之间的距离H=20√3cm，现有比荷q/m=4.0×lo⁵C/kg的正离子由小孔S₁进入电场加速后，从小孔S₂穿出，通过磁场后打在荧光屏D上，不计离子的重力和离子在小孔S₁处的初速度。

（1）若离子能垂直打在荧光屏上，则电压表的示数多大？

（2）滑动变阻器滑片P的位置不同，离子在磁场中运动的时间也不同，求离子在磁场中运动的最长时间和此种情况下打在荧光屏上的位置到屏中心0'点的距离。

认知及思维障碍分析：

（1）识别电路结构，判断电容器两极板间的电压是求解问题的前提。滑动变阻器R₂和定值电阻R₁组成稳定的串联电路，闭合回路的电流恒定，设滑动变阻器左端连入电路的电阻为R_x，则电容器两极板间获得的电压。

（2）直线加速器两极板间的电压决定了离子加速后获得的速度，则W=qU=，解得，即。

（3）加速后的离子从确定的位置以确定的速度方向进入圆形有界磁场发生磁回旋，磁回旋半径r∞v，圆心角随磁回旋半径的增大而减小，磁回旋的时间 随圆心角的减小而减小。

解析：（1）若离子由电场射出后进入圆形有界磁场，经磁回旋射出有界磁场垂直打在荧光屏上，则离子在磁场中速度方向偏转了90°，离子在磁场中做圆周运动的径迹如图5所示，由几何知识可知离子在磁场中做圆周运动的网半径，r₂=R=lO√3 cm。设两金属板问的电压为U₁，离子经电场加速获得v₁，由动能定理得，由牛顿运动定律得，解得

（2）两金属板间的电压越小经电场加速后获得的速度也越小，离子在磁场中做圆周运动的半径就越小，射出电场时的偏转角越大，在磁场中运动的时间越长，所以滑片在变阻器R₉的左端时，离子在磁场中运动的时间最长。由闭合电路欧姆定律得I=。两金属板间电压U_min=IR₁=20V，由及，解得v₂=4*10³m/s，r₂=O.lm。粒子进入磁场后的径迹如图6所示，O₁为径迹圆的圆心。由图可得，即a=60°，故离子在磁场中运动的最长时间，。在。，所以A、O'两点间的距离x=Htanθ= 20 cm。

四、粒子从确定的位置以确定的速率进入矩形有界磁场区域的最值问题分析

粒子从确定的位置以确定的速率进入矩形有界磁场.在磁感应强度不变的前提下磁回旋半径恒定，但由于进入有界磁场速度方向的变化，使得磁回旋的径迹存在差异。先求磁回旋的圆心角，再求磁回旋的时间和所央的弦，进而就能解得磁回旋通过的路径。

例4 在如图7所示的直角坐标系、xOy中，矩形区域Oabc内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=5.0×10^-2T，第一象限内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小E=1.0×10⁵N/C。已知矩形区域Oa边长为0.60m，ab边长为0.20 m。在bc边中点N处有一放射源，某时刻放射源沿纸面向磁场中各方向均匀辐射速率均为v=2.0×l0⁶m/s的某种带正电粒子，带电粒子质量m=1.6×10^-27kg，电荷量q=3.2×10^-19C，不计粒子重力，计算结果保留两位有效数字，求：

（1）粒子在磁场中运动的半径；

（2）从x轴上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程；

（3）放射源沿x轴负方向射出的粒子，从射出到从y轴离开所用的时间。

认知及思维障碍分析：

（1）从确定的位置以确定的速率向各方向发射相同的粒子，磁回旋半径均相等，因射入磁场方向的不同而形成不同的磁回旋径迹，磁回旋径迹如图8所示。

（2）追踪性分析可能发生的物理过程不仅是解决物理问题的能力，更是发展学科思维力的关键。很多时候我们只局限在磁回旋这一物理过程的最值分析而忽视了后续跟进发生的物理过程。向沿x轴负方向射出的粒子经过磁回旋后沿y轴正方向进入匀强电场，经过匀变速直线运动再次以相等大小的速度沿y轴负方向进入有界磁场发q磁回旋，通过作图法定性描绘出第二次磁回旋的径迹，通过几何关系求解磁回旋对应的圆心角，从而可以求解第二次磁回旋经历的时间。

解析：（1）粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvB =m ，解得R=0.20 m。

（2）由几何知识可知最短弦对应最短的弧长，如图9所示，a=60°，最短的弧长即最短路程s=Ra=0.21m。

（3）粒子磁回旋的周期，粒子在磁场中沿弧NP运动的时间。粒子在电场中的加速度，又有v=at，解得t=1.0*10^-7s，即粒子在电场中做往返运动的时间为t₂+t₃=2t=2.0×10^-7s。由图可知cOsθ，故θ=60°。粒子第二次在磁场中运动的时间。因此粒子运动的总时间t_总=t₁+t₂+t₃+t₄=4.6*10^-7s。