例谈处理平面向量问题的常用技巧

洪晓林

现通过归类举例的方式，具体说明处理有关平面向量问题常用的解题技巧，旨在拓宽解题思维，进一步提高分析、解决此类问题的实际能力。

技巧一：活用相关向量结论

结论：若A、B、C三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在λ∈R，使得PC=λPA+（1-λ）PB。注意：这里向量PA、PB前的系数之和等于1。

特殊情形1：若点C为线段AB的中点，则。

特殊情形2：若点C在线段AB上，AC=m，CB。

例1在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中。

解析：连接EF，设。

易知。

结合图形，由结论1知：存在t∈R，使得，则。

由，得

由和，得，则。

技巧二：建“系”处理

处理涉及平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性，值得我们回味、深思。

例2 如图1，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则AE.BF的值是________。

解析：如图2，建立平面直角坐标系xAy。

易知点A （0，0）、B（√2，O）、E（√2，1）。设点F（x，2）。

由，得，则点F（l，2）。

技巧三：构造“基底”处理

求解有关平面向量问题时，若能灵活地选取一组基底，则往往有利于问题的简捷获解。

例3已知向量AB与AC的夹角为120°，且，则实数λ的值为______。

由，得，即（），解得

技巧四：按“图”处理

处理有关平面向量问题时，若能灵活利用平面向量加、减法法则的几何意义加以分析，则往往有利于问题的顺利获解。

例4已知a、b是单位向量，a.b=0，若向量c满足，则的取值范围是（）。

A.

B.

C.

D.