三角函数的图像与性质经典问题聚焦

刘海洋

高考对三角函数的图像与性质的考查一般结合三角变换进行，主要围绕：y =A sin（ωχ+ψ）的解析式的确定、图像变换（平移和伸缩）以及图像和性质的应用，凸显整体变量观念和数形结合思想的具体应用。现聚焦2015年高考中三角函数的图像与性质经典问题及其求解方法。

聚焦一：三角函数的对称性、单调性、周期性

例1， （北京文）已知函数f（x）一sin x。

（1）求f（x）的最小正周期。

（2）求f（x）在区间 上的最小值。

解析：（1）

则f（x）的最小正周期为2π。

（2）由o≤x≤ ，得 ≤ ≤π。

当 即 时，f（x）取得最小值

感悟：对于三角函数中的最值、单调区间、周期等有关问题，常常先进行三角变换（逆用公式、降次、利用辅助角等），将表达式化归为y=A sin（ωχ+ψ）+B.再利用正弦函数的性质求解。求最值时，有时需要把sinx.或COs x看成一个整体，转化成二次函数的最值问题求解，或利用sin x士cOs x和的关系转化成二次函数问题求解。

聚焦二：三角函数的图像变换

例2（山东理）要得到函数y=sin的图像，只需要将函数y=sin 4x的图像（）。

A.向左平移π/12个单位

B.向右平移π/12个单位

C.向左平移π/3个单位

D.向右平移π/3个单位

解析：，所以要得到函数 的图像，只需将函数sin 4x的图像向右平移π/12个单位。

感悟：对于y=A sin（ωχ+ψ1）到.y=A sin（ωχ+ψ2）的图像变换，设 当 时，将y =Asin（ωχ+ψ1）的图像上所有的点向左平移△x个单位；当△x<0时，将y=A sin（ωχ+ψ1）的图像上所有的点向右平移一△x个单位。

聚焦三：由图像确定解析式

例3（新课标版l理）函数f（x）一cos（ωχ+ψ）的部分图像如图1所示，则f（x）的单调递减区间为（）。，故函数f（x）的单调递减区间

感悟：由图像确定f（x）+cos（ωχ+ψ）的解析式，观察图像上的所有平衡点（零点），可以根据平衡点是在递增的一段图像上还是在递减的一段图像上进行计算，如在递减的一段图像上则代入ωχ+ψ=π/2+2mπ中计算，如在递增的一段图像上则代入ωχ+ψ=中计算，实质上为正、余弦函数中的整体变量观念的应用：当ωχ+ψ分别取0、 、π、 、2π时得到对应图像上的五个关键点。

聚焦四：用“五点法”确定函数的解析式

例4（湖北理）某同学用“五点法”画函数f（x） =Asin（ωχ+ψ）（）在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表1：

（1）请将表1中的数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式。

（2）将y=f（x）的图像上所有的点向左平行移动θ（θ>O）个单位长度，得到y=g（x）的图像。若y=g（x）的图像的一个对称中心为（），求θ的最小值。

解析：（1）根据表1中的数据，可得A=5，ω=2， ，则f（x） =5s，n（）。

表1中第二行从左到右的三个空格内分别填 、 和 ，第三行中的空格内填o。

（2）由（1）知f（x）=5sin（），则g（x）=5sin （2x+2θ一 ）。

令2x+2θ ，解得

令，解得。又θ>o，则当k=1时，θ取得最小值 。

感悟：要熟悉用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωχ+ψ）（）在某一个周期内的图像的规则。

聚焦五：利用三角函数的图像特征比较大小

例5（安徽理）已知函数f（x）=A sin（ωχ+ψ）（A、 、均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x ）取得最小值，则下列结论正确的是（）。

A.f（2）B.f（0）