源于定义的三视图问题求解对策

韩天禧

关于三视图的定义，教材是这样给出的，“光线依次从几何体的前面向后面、左面向右面、上面向下面的正投影，分别叫做几何体的正视图、侧视图、俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图，统称为几何体的三视图”。三视图的定义图文并茂、简洁明快，但缺少数学属性，好记忆难应用。要深度理解三视图的定义，必须从图形中挖掘特征量，从投影的物理方法与过程中提炼数学本质，来丰富三视图的定义的内涵。

一、三视图的定义评析

1.三正要义

三视图是在空间设置互相垂直的三个正立面（正面、水平面、侧立面）作为投影面，是在物体正放、视线正对着物体的前提下，向这三个面上进行投影得到的三个视图。其中，互相垂直的三个正立面是三视图的空间载体，三个方位的正投影是成图的物理方法与过程，三个正立面上的三个空间正投影展到同一平面上，是平面三视图的最终归宿。毫不夸大地说，“三正”是作三视图的操作起点与动作指令。

2.点是本源

线、面、体的根在于点，作几何体各顶点的投影点，各顶点的投影如同若干钢针正钉在投影面上，在投影面上由点生线（眼见为实，不见为虚），由线生面，得到对应的三个视图。

3.三等关系

三个视图的长、宽、高分别指几何体所占空间的左右、前后、上下的最大距离。由每两个视图都有相同的可视量，得正视图与俯视图的长、正视图与侧视图的高、侧视图与俯视图的宽都相等，即“长对正、高平齐、宽相等”，这个三等关系体现了三个不同方位的视图的必然联系。

4.三位关系

投影后要把在空间的三个视图展开摊平到同一个平面内，即正视图不动，侧视图逆转90。放在正视图右侧，俯视图下旋90。放在正视图下方，由此得出的“三位关系”是自然形成的，而不是人为摆放的。

5.数位关系

“三等”与“三位”关系是不可分割的整体，数中有位，位不离数，相辅相成地呈现出三个视图之间的联系。

6.逆向回转

三视图的形成与还原是互逆的，投影与平移、平展与翻折相互对应。由三视图还原几何体时，先将三个视图翻折到空间互相垂直的三个正立面上，然后将三视图中的局部线段，凭借空间想象力，依次向前后、左右、上下平移，使得“长对正、高平齐、宽相等”，还原出三视图对应的空间几何体。

二、三视图问题的求解对策

从以上定义评析中发现，空间几何体的三视图与长方体的关系是休戚相关的，我们不妨就请长方体这个“瓮”，来捉三视图这只“鳖”。

1.请“君”入“瓮”

在作几何体的三视图时，若将几何体镶嵌在长方体中，不仅三个正立面是现实直观的，再无需凭空想象，而且作投影时前后、上下、左右处处都有可供参考的线面垂直与线线平行关系，这个长方体就是最美正投影的关系网，所以只要把几何体请到长方体中，作空间几何体的三视图就是水到渠成、顺理成章的事了。

例1将正三棱柱截去三个角（如图1，A、B、C分别是△GHI三边的中点），得图2所示的几何体，则该几何体按图2所示方向的侧视图是（）。

解析：将图2所示的几何体ABC-EFD放人图4所示的长方体中，作几何体各顶点在侧立面上的正投影，即B与C两点的投影为点N，点A的投影为点G，点E的投影为点D，点F的投影为点M，依次连接各投影点，得该几何体从左到右的投影为直角梯形M DDGN，再将该投影沿线段DG按逆时针方向旋转90。得侧视图。应选A。

点评：其实就是把空间几何体内接在长方体之中，为减少作图量，尽可能地把几何体中的点、线、面放到长方体各面上。

例2某几何体的一条棱长为√7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为√6的线段，在该儿何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为“和b的线段，则a+b的最大值为（）。

A.2√2

B3.2√3

C.4

D.2√5

解析：不妨构造一个体对角线长为√7的长方体，如图5所示，使D1B一√7，D1C=√6，a=BC1，b=BD。时，等号成立。

点评：把几何体的这条棱视为长方体的一条体对角线，它对应的三个视图就是这个长方体的三个面对角线，在找体对角线与面对角线间的关系时，还需要设出长方体的长、宽、高作为媒介。对于本题，若脱离具体的长方体模型是难以入手的。

2.“瓮”中捉“鳖”

由三视图还原几何体，它与作几何体的三视图是一个互逆过程，其思路是：以三视图的长、宽、高作一个长方体，将正视图、侧视图和俯视图依次放到长方体的后侧面、右侧面和下底面上，把三个视图的部分线段，依次向前、向左、向上平移，使得“长对正、高平齐、宽相等”，就能快捷地还原出几何体。

例3一个棱锥的三视图如图6所示，则该棱锥的全面积为（）。

A.48+12√2 I3.48+24√2

C.36+12√2 D.36+24

解析：如图7，在长方体的三个面上作出该几何体的正视图、俯视图、侧视图，分别为△NAD、△MCD、△ABC，线段QM在侧立面上的投影为M点，线段PN在正对面上的投影为N点，记QM、PN的交点（）1为棱锥的顶点，将CD平移到BA处使俯视图与侧视图的宽相等（重合），AD平移到BC处使正视图与俯视图的长对正，由此得到三视图对应的空间几何体为三棱锥O1-ABC。经反向验证，该几何体满足要求。

在图7中，O为AC的中点，O1O=4，AB=BC=6，AC一6√2，三棱锥O1-ABC的两侧面△O1AB与△O1BC是全等的等腰三角形，由此得三棱锥01-ABC的全面积为：S=S△O1AB+S△O1BC+S△O1AC+S△ABC =48+12√2。

点评：只要心中有图，不一定非要作出一个具体的长方体，可将三个视图假想在长方体的三个面上，经过翻折后，做到三个重合，凭着空间想象能力也能还原出空间几何体。

例4已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如图8所示，其中四边形是边长为2的正方形，求这个正四面体的正视图的面积。

解析：作底面为正方形的长方体，如图9所示，取底面正方形各边的中点A、N、B、M，则正方形ANBM为正四面体的俯视图。

由于AB=MN，只有将俯视图的可视线段AB沿竖直方向平移到长方体上底面上的PQ位置时，才能使正四面体的两条棱PQ与MN的长相等，由此得到正四面体P-MNQ，它的正视图为△CDM。

由AN =2，得正四面体的棱长为PQ=2√2。

在Rt△QAN中，AQ= =2。

正四面体的正视图△CDM的面积为S△CDM=

点评：由此看出，在长方体中还原空间几何体，可轻松逾越命题者预设的考查较强空间想象力的难度，如对于本题，使抽象的几何体的特征与俯视图，不仅直观形象地在长方体中相互照应与调整，而且当几何体确定后，它的正视图也就显而易见了。尤其是利用长方体作工具，可直接把三视图中的数量关系转移到对应的空间几何体上，利用直角三角形求解未知量时也简单。

G.波利亚在《怎样解题》中说：“画一个假设图形，假设它的各个部分都满足题目条件，也许是迈出解题的重要一步”。照此办理，在解决三视图问题时，将几何体镶嵌在长方体中作三视图，或用它把三视图统一在长方体中还原几何体，用这种请“君”入“瓮”与“瓮”中捉“鳖”的思路去解决问题，能化抽象为形象，方法简单、快捷又容易掌握。

跟踪训练

1.（2013年高考湖南理）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（）。

A.1

B.

c.

D.

2.（2013年高考全国新课标版1理）某几何体的三视图如图10所示，则该几何体的体积为（）。

A.l6+8π

B.8+8π

C.16十l6π

D：8+16π

3.（2014年高考全国新课标版1理）如图11，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）。

A.6√2

B.4√2 C.6 D.4参考答案：1.C 2.A 3.C