注重基础关注本质强调应用注重创新——2015年福建高考数学试题评析及教学启示

☉福建省宁德市民族中学 郑一平

注重基础关注本质强调应用注重创新
——2015年福建高考数学试题评析及教学启示

☉福建省宁德市民族中学 郑一平

2015年福建高考数学试题是福建省实施高中新课程标准自主命题的最后一年，试卷坚持“注重基础、关注本质、强调应用、注重创新”的命题思想，立足学科本质，坚持从学科的整体意义上选材立意，并根据数学各分支在中学数学的地位及其教育价值设置考点，确定考查权重，追求合理的知识结构和能力层次，注重发挥开放性、探索性试题的评价功能.整个试卷层次分明，试卷易、中、难的比例基本按照考试说明的比例命制，三种题型的试题均采用低起点、宽入口、多层次、高落点的方式，以期获得较好的梯度和区分度.达到既注重全面考查基础知识，又突出考查主干内容，既全面考查基本素养，又综合考查分析问题和解决问题的能力，是对高中新课程改革数学教学一个正确的导向.

一、试题主要特点

1.立足学科基础，凸显平稳过渡

2015年福建高考是福建省自主命题的最后一年，明年又要恢复全国统一命题，今年的命题科学地继承了福建省已有高考数学命题的成功经验，在试卷的题型结构、赋分比例、难度要求及试题难易梯度等方面，都严格地遵循了《考试说明》的相关规定，充分关注数学基础知识、基本技能和基本思想方法的考查.文、理科试卷，分别取材于构成高中数学主体框架内容的函数与导数、立体几何、解析几何、概率与统计、三角函数和数列的试题，不仅考查分值占比高，而且有机地融合了与之相关的知识、技能和思想方法，从而全面地检测了考生作为未来公民所必需具备的数学基础.命题强调高考对考生学习方式和学习潜能的关注，考虑考生整体情况，又注意到试题的选拔功能，既有容易题，也有中等题、难题，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴含的数学思想和方法的掌握程度，合理地检测学生的基本数学素养.各题型都有明显的“送分”题和“压轴”点，填空题难度比往年有所降低，解答题题与题之间有分明的层次，一些试题设置了难度差异明显的多问形式，更加关注较高层次内的区分，有效地实现了平稳过渡.

2.关注数学本质，突出考查能力

命题能立足数学本质，从数学各分支的核心内容、学科思想，以及相关分支的教育价值入手设置试题，确定考查力度，追求合理的知识结构和能力层次要求，考查考生的学习能力.命题将考查综合运用数学知识与方法解决问题的能力置于首要的位置，依托数学知识与方法的本质含义体现“知识立意”与“能力立意”，既全面又有所侧重地考查了《考试说明》要求的“五个能力”、“两个意识”和“七个思想”.如文12依托“三角函数线”侧重考查推理论证能力、抽象概括能力和数形结合思想；文18、理16分别依托“全网传播的融合指数”和“银行卡密码”侧重考查数据处理能力、应用意识和必然与或然思想；文20（Ⅲ）依托“两点之间线段最短”侧重考查了空间想象能力、推理论证能力和化归与转化思想；理10依托“导数的几何意义”侧重考查推理论证能力、特殊与一般思想和数形结合思想；理15依托“纠错码和异或运算”侧重考查推理论证能力和创新意识；文22、理20依托“导数的综合应用”侧重考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识、数形结合思想和分类与整合思想.

例1（理20）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）.

（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＜x；

（Ⅱ）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；

（Ⅲ）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有|f（x）-g（x）|＜x2.

分析与略解：这是理科压轴题，考查导数的应用.三个设问难度逐级上升，尤其问题（Ⅲ）综合性强、难度大，是全卷的压轴题.

（Ⅰ）直接根据导数的性质就容易解决.

（Ⅱ）根据导数的定义结合分类讨论思想方法才能得到解决，本问题多数学生都可以解决.

令G（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈［0，+∞），则有

当k≤0时，G′（x）＞0，所以G（x）在［0，+∞）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意.

综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有（fx）＞g（x）.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，要考虑对k分三种情况k＞1、k＜1、k=1进行讨论，但过程对数学思想方法要求高，特别涉及较大的运算、推理，许多学生半途而废.

当k＞1时，由（Ⅰ）知，∀x∈（0，+∞），g（x）＞x＞（fx），故g（x）＞（fx）.的t不存在.

当k=1，由（Ⅰ）知，当x∈（0，+∞），|f（x）-g（x）|=g（x）-f（x）=x-ln（1+x）.

令H（x）=x-ln（1+x）-x2，x∈［0，+∞），则有H′（x）=1-

当x＞0时，H′（x）＜0，所以H（x）在［0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0.

故当x＞0时，恒有|f（x）-g（x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意.

综合上述，k=1.

问题（Ⅲ）可考虑避开烦琐运算，得到以下解法：

当k＞1时，由（Ⅰ）知，∀x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x）.

故|f（x）-g（x）|=g（x）-f（x）=kx-ln（1+x）＞kx-x=（k-1）x.

令（k-1）x＞x2，解得0＜x＜k-1，从而得到当k＞1时，对于x∈（0，k-1）时恒有|f（x）-g（x）|＞x2，所以满足题意的t不存在.

由（Ⅱ）知，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0）恒有f（x）＞k1x＞kx=g（x）.

故满足题意的t不存在.

当k=1时，由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）时，|f（x）-g（x）|= g（x）-f（x）=x-ln（1+x）.

令M（x）=x-ln（1+x）-x2，x∈［0，+∞），则有M′（x）=1-

当x＞0时，M′（x）＜0，所以M（x）在［0，+∞）上单调递减，故M（x）＜M（0）=0.

故当x＞0时，恒有|f（x）-g（x）|＜x2，此时，任意实数t满足题意.

综合上述，k=1.

本题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想等.本题立足选拔的要求，淡化层次内的区分，强化层次间的区分，合理构建了三个问题的难度梯度，使试题难度与题序同步增加，特别是解题过程需要有一定的运算推理能力.尤其问题（Ⅲ）的解决需要很强的数学思想和方法，特别是对分类思想和推理论证能力要求很高，学生在有限的时间内能完整地解决此题可以反映学生良好的综合素质与很强的分析问题与解决问题的能力.

3.强调知识应用，彰显选拔功能

今年福建高考数学有些试题能从课程改革的理念出发，让学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，取材于学生熟悉的学习、生活实际问题进行命题，不仅考查了考生对相关数学知识的理解水平，而且以这些知识为载体，检测了考生将知识迁移到现实情境中的能力，从而检测了考生应用知识分析问题、解决问题的能力，实现了对考生应用意识的考查.同时也有效地促进学生逐步形成和发展数学应用意识，强调高考对考生学习方式和学习潜能的关注，检测考生对中学数学知识中所蕴含的数学思想和方法的掌握程度.文12、文15、文21、文22、理9、理14、理19、理20等考查了数学知识与方法在学科内的应用，文13、文18、理4、理15、理16等考查了数学知识在解决实际问题中的应用.

同时命题立足选拔功能的要求，淡化层次内的区分，强化层次间的区分，合理预设各种题型的难度梯度，力求各种题型内试题难度与题序同步增加，解答题每个小题也从易到难.如文20、21、22的第（Ⅰ）和（Ⅱ）问，理19、20的第（Ⅰ）问均为较容易题，余下各问则着重考查考生的自然语言、图形语言和符号语言的转换和思考的能力，正确发挥高考的选拔功能及其对中学数学教学的导向作用.

例2（理19）已知函数f（x）的图像是由函数g（x）= cosx的图像经如下变换得到：先将g（x）图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求其图像的对称轴方程.

（Ⅱ）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在［0，2p）内有两个不同的解a，b.

（1）求实数m的取值范围；

分析与略解：本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想.（Ⅰ）主要考查三角变换，以及三角函数图像及其性质的应用.（Ⅱ）（1）解决的关键是将asinx+bcosx型的三角函数化为一个三角函数的形式，这是涉及此类问题求周期、范围、最值等的常用方法，也是三角函数重要的考点之一.（Ⅱ）（2）解决的关键是通过数形结合，利用根的对称性结合有关知识解决.

对于问题（Ⅱ）的（2），若对三角函数公式中的两角差的余弦公式进行适当变换有cos（a-b）=cos［（a+j）-（b+ j）］=cos（a+j）cos（b+j）+sin（a+j）sin（b+j），考虑是否可以根据条件求出cos（a+j）cos（b+j）+sin（a+j）·sin（b+j）的值即可.

本题虽涉及的是三角函数中常见的问题，但若对型如asinx+bcosx的三角函数的特征，以及内在联系、几何关系理解不透彻，就很难圆满解决这一问题.

4.注重知识综合，适度探索创新

今年福建高考试题坚持能力立意，以数学知识为载体，以思维能力为核心，全面考查学生综合分析解决问题的各种能力，考查学生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能.命题追求稳中求新，适度考查将已有的知识与方法迁移到新情境中解决问题的能力.如理8（文16）以等差数列和等比数列的定义为载体综合考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识；理10、文21（Ⅱ）（2）分别以导数的几何意义和正弦函数的最小正周期为载体综合考查推理论证能力、特殊与一般思想、有限与无限思想和数形结合思想；理15以纠错码和异或运算为载体综合考查了阅读理解、迁移运用的能力.

例3（理10）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）.

分析与略解：本题是理科选择题的压轴题，有一定难度，要根据问题条件与结论之间隐含的内在联系考虑解决方法，是一道考查能力的好题.

根据条件构造函数g（x）=f（x）-kx，则g′（x）=f′（x）-k，故g（x）在R上单调递增.

5.试卷结构合理，体现文理差别

今年福建高考文理科试题层次分明、结构合理，各题型都有明显的“送分”题和“压轴”点，填空题难度比往年略有下降，解答题题与题之间有分明的层次，且每道题均设置难度差异明显的多问形式，对较难的解答题也利用分步给分的设计方法，不仅化解了难度，又合理地区分了不同层次的考生，提高了试卷的整体质量.试卷对文、理科有不同要求，文理两份试卷没有完全相同的试题，部分考查相同知识点的试题文科与理科区别较大，正视文、理科学生在数学学习上的差异，突出共性，反映个性，理科注重考查数学推理和理性思维，注重对数学本质理解的深刻性及思维的抽象性，文科侧重于常用的推理方法，注重数学思维的形象性与数学的工具性，在抽象思维、字母运算、空间想象、解决问题的能力等方面，与理科相比都适当降低了难度，充分体现文、理科考生的特点，关注考生的实际情况，有助于素质教育的深入实施.

二、教学启示

从2015年福建高考数学试题分析，结合2016年全国许多省份将结束自主命题，重新启用全国高考试卷，2016年高考复习应把握以下几点：

（1）要以《课程标准》、《考试大纲》及相应的《考试说明》为依据，准确理解高中新课程理念，认真分析研究全国高考数学试卷的考试范围、内容要求、题型特点，关注复习策略的调整，正确把握复习方向，适时调整复习的难度与梯度.围绕着新课程标准中的内容主线、核心能力、改革理念，进行全面、系统的复习，突出对学生创新精神、探究能力和实践能力的培养，把探索性、研究性、创新性问题渗透在平时学习过程中.

（2）立足基础，第一轮复习要全面、系统，不留死角.特别要培养学生解决数学问题的思维起点、意识，坚持从基础知识、基本方法、重点内容的复习中发现知识的缺陷并寻找原因，通过对症下药及时补缺查漏，从而切实掌握数学基础知识、基本技能和基本方法.在教学和复习过程中，要注意知识的不断深化，新知识应及时纳入已有的知识体系，特别要注意数学知识之间的关系和联系，使学生已掌握的知识形成一个条理化、有序化、网络化的有机体系.

（3）在抓好基础知识的前提下，加强对高中数学主干知识的复习，对于函数与导数、三角、数列、不等式、空间线线、线面、面面关系、直线与圆锥曲线关系、统计与概率等内容，都是高中数学的重点知识，要做到在重视基础的前提下，“重点内容，重点加强”，强化数学思想方法、能力的培养，倡导“多思少算”，加强知识间的交叉、渗透和综合，平时要加强对具有一定思维量的开放性、探索性的试题的研究，提高学生的探究能力.

（4）重视对选考内容的要求和难度的研究，严格控制选考内容的复习难度.复习中要强调所学知识与现实生活的紧密结合，加强应用教学，特别要培养学生能根据试题提供的信息进行分析、检索、加工和组合，探求问题实质，寻找解决方案.要始终渗透函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化、特殊与一般、或然与必然、有限与无限等数学思想，真正掌握数学思想方法，提高学科素养.

总之，2016年高考将面临新的机遇与挑战，要注意立足学科基础，注重内涵本质，提高应用意识，强数学思想方法的渗透及数学素养的培养，提高观察、联想、归纳类比等理性思维能力的培养，让学生形成综合知识体系，真正提高数学学习的实效性.F