高考试题数学思想方法的考查分析与教学反思

☉江苏省如东高级中学 葛张勇

高考试题数学思想方法的考查分析与教学反思

☉江苏省如东高级中学 葛张勇

纵观近几年全国各地高考数学试题，都在体现“考查基础知识的同时，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”的命题指导思想.试题呈现起点低、难度适中、知识覆盖全面的特点，均能较好地区分不同层次的考生.试题较好地考查了考生对基本概念、公式的掌握程度，突出理性思维，体现创新意识.试题蕴含各种数学思想方法，常常涉及的数学思想方法有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与化归思想.本文将结合近年来的高考试题对这四种数学思想进行分析.

一、考题分析

1.函数与方程思想

函数思想是用变化的观点研究具体问题中的数量关系，用函数的形式把各种数量关系表示出来，并利用函数性质加以研究，从而使问题获得解决.

方程思想就是通过引入未知数，根据变量之间的关系列出方程或方程组求解，或者根据题中提供的解析式（函数式），把它看成一个方程，通过解方程或转化为对方程研究的方法解决问题.函数与方程思想是高中数学的基本思想，也是历年高考的重点和热点.新公布的2015年《江苏高考考试说明》将“函数与方程思想”由原来的A级考点上升为B级考点，就不难理解了.

例1 （2014年辽宁高考理16）对于c＞0，当非零实数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大时，的最小值为_________.

解析：（判别式法）令2a+b=t，则b=t-2a，代入到4a2-2ab+4b2-c=0中，得4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18ta+4t2-c=0.因为关于a的二次方程有实根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，|2a+b|取最大值时，

点评：本题为多变量函数最值问题，解题入口宽、思路广、难度较大、综合性强，由于题中是二次式，所以构造二次方程利用判别式法解决.

2.数形结合思想

著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数是用文字语言或符号语言对对象关系的抽象描述，而形则是用图形语言对对象关系的直观描述.数学总是用数的抽象性说明形的形象，同时又用形的直观说明数的抽象的事实.数形结合，不仅是一种解题方法，更是一种思想和思维方式，它融合了数的严谨和形的直观，教学中应该加强对学生这方面的训练，提高解题能力和速度.

例2 （2014年天津高考理14）已知函数f（x）=|x2+ 3x|，x∈R.若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_________.

解析：方法一：在同一坐标系中画f（x）=|x2+3x|和g（x）=a|x-1|的图像（如图1），问题转化为f（x）与g（x）的图像恰有4个交点，当y=a（x-1）与y=x2+3x（或y=-a（x-1）与y=-x2-3x）相切时，f（x）与g（x）的图像恰有3个交点.把y=a（x-1）代入y=x2+3x中，得x2+3x=a（x-1），即x2+（3-a）x+a=0，由Δ=0，得（3-a）2-4a=0，解得a=1或a=9.又当a=0时，f（x）与g（x）的图像仅有2个交点，所以0＜a＜1或a＞9.

图1

点评：本题是考查数形结合的一道典型题，主要考查函数的图像、性质，方程的根与函数的零点，平时教学中应予以重视.

3.分类讨论思想

分类讨论即“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略，学习和掌握分类讨论的思想，有利于培养学生更全面、更有逻辑地分析和解决问题的能力.涉及分类讨论的问题一般融合较多的知识，能力要求高，考查学生的理解深度和能力水平.从多年高考试题来看，均涉及分类讨论思想方法的考查，既有灵活多变的客观性试题，又有综合要求较高的主观性试题.

图2

（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，证明函数f（x）有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；

（3）对于（2）中的x1，x2，设A（x1，f（f（x1）），B（x2，f（f（x2）），C（a2，0），记△ABC的面积为S（a），求S（a）在区间上的最大值和最小值.

②当a2＜x≤a时，由（a-x）=x，解得x=∈（a2，a）， 因，故x=是f（x）的二阶周期点；③当a＜x＜a2-a+1时，由（x-a）=x，解得x=∈（a，a2-a+1），因故x=不是f（x）的二阶周期点；

④当a2-a+1≤x≤1时，（1-x）=x，解得x=因，故x=是f（x）的二阶周期点.

因此，函数f（x）有且仅有两个二阶周期点，x1=

4.转化与化归思想

转化与化归思想就是将要解决的问题通过等价转化或化归为一个已经解决的问题，或归结为人们所熟知的具有既定方法或程序的问题，最终求得问题答案的方法.转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，它渗透到数学教学内容的各个领域和解题环节的各个方面，随着新课程理念的不断深入，近几年的高考加强了对转化与化归思想的考查.

例4 （2014年上海高考理21）如图3，某公司要在A、B两地的连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长为35米，CB长为80米，设A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.

（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问：CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

（2）施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.

图3

（2）由题意得，∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°.因为，所以AD≈43.61米.因为CD2=352+AD2-2·35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

点评：（1）本题体现了实际问题向数学问题的转化，把条件α≥2β转化为tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα、tanβ可用CD的长表示出来，从而得到关于CD的不等式，解之可得所求结论；（2）根据已知条件，要求CD的长，可在△ACD或△BCD中解得，由此要求可得AD或BD的长，然后利用余弦定理，求得CD，而AD或BD两边在△ABD中，可用正弦定理求得.

二、教学启示与建议

1.在数学知识形成中渗透数学思想方法

数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程，每一个数学概念都经历着由感性到理性的抽象过程，每一个数学规律，都经历着由特殊到一般的归纳过程.教师应该重视这些知识发生过程的设计，引导学生以探索者的姿态体验概念的形成过程.学生只有像数学家一样自主探究、亲身经历知识的发生发展过程，才会加深对其中数学思想方法的理解和领悟.

2.在数学问题解决中揭示数学思想方法

数学问题的解决过程就是数学命题的不断变换和数学思想方法反复运用的过程，数学思想方法是数学问题解决的指导性成果，数学问题的推广、引申和解决过程，也是数学思想方法的深化过程.因此，在数学问题解决过程中，要突出数学思想方法对问题的引领和指导作用，让学生感悟隐含在数学问题中的思想方法，逐步形成用数学思想方法指导思维的习惯，以达到解题时能够融会贯通.

3.在知识总结归纳中概括数学思想方法

数学思想方法贯穿中学数学教学，并以内隐的方式融于数学知识体系.教学中要指导学生把这种数学思想内化为自己的能力，就要注意把隐含在问题中的数学思想加以归纳、提炼、总结，这样，不仅可以使学生从思想方法的高度把握知识的本质和内在规律，而且也能使学生逐步体验到数学思想方法的本质，进一步提升学生发现问题、解决问题的能力.

4.在学生反思感悟中提炼数学思想方法

数学思想方法的获得要求教师进行有意识的渗透和训练，但更多的是要靠学生自身的反思和领悟.这一点至关重要.在数学教学中，教师要善于引导学生自觉检查自己的思维活动，反思自己的解题过程，看看是怎样发现问题和解决问题的，运用了哪些基本的思想和方法，遇到思维困惑是怎样解决的，记住了哪些教训，有何感想和收获，对今后解题有哪些启发等，从而帮助学生真正领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法，真正促进学生思维能力的提升.

1.戴佳珉.普通高中课程标准数学高考考情解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2011.

2.吴华.数学课程与教学论［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.F