拨开云雾见真相

严红芳

[摘 要] 数形结合的基本思想就是在研究问题的过程中，把图形性质的问题转化为数量关系的问题或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 笔者结合教学实践，从“概念教学”“解题教学”中剖析了“以形建数”“用形辅数”对学生掌握概念、理解题意的作用.

[关键词] 思想方法；数形结合；图象

《数学课程标准》中明确指出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果. 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”. 数学中，数与形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以互相转化，互相渗透.

“以形建数”渗透概念教学

初中数学中真正引入“形”，应该是从数轴开始的. 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴. 在原点的右边标上正数，原点的左边标上负数，从而初步建立了有理数和数轴的关联，在学生头脑中初步形成“数”与“形”的对应关系（如图1）. 随着知识的扩充，会发现无理数也能在数轴上找到它的对应点.

例如：在数轴上找出表示“”的点（如图2）

以一个单位为边长画一个正方形，以原点为圆心，以正方形对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数即为. 直观地让学生体会到无理数也能在数轴上找到它的对应点，进而把实数与数轴上的点建立了一一对应的关系.

在数轴的基础上引入了平面直角坐标系：在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴. 建立了平面直角坐标系中的点和有序实数对的一一对应关系. 完善了学生头脑中的知识体系，让学生在形中更好地掌握点的坐标的含义. 例如P（3，2）和Q（2，3）是不同的两个点，它们在平面直角坐标系中位的置是完全不同的（如图3）.

“用形辅数”融入解题教学

（一）“用形辅数”加深理解题意，轻松举一反三

例1 （2012甘肃兰州） 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图4所示. 若ax2+bx+c=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A. k<-3 B. k>-3

C. k<3 D. k>3

此题限于已知条件的有限，若从方程角度考虑会感到无从入手，从函数图象的交点问题来考虑就豁然开朗. 首先画出y=ax2+bx+c的图象（如图5）

根据方程有两个不相等的实数根且k≠0的条件，只要找到y=ax2+bx+c的图象与y=k的交点有两个时对应的k的取值范围，即k>3. 用这样的“形”来帮助学生理解“数”，更能起到“事半功倍”的效果. 约60%的学生是可以理解并能做一定的延伸与迁移的，这时教师可继续深化：写出ax2+bx+c=k（k≠0）的根的情况和k的取值范围. 经过师生交流，生生讨论可以总结出：①当k>3或k=0时，y=ax2+bx+c的图象与y=k有2个交点，故ax2+bx+c=k有2个实数根；

②当k<0时，y=ax2+bx+c的图象与y=k没有交点，故ax2+bx+c=k没有实数根；

③当0

④当k=3时，y=ax2+bx+c的图象与y=k有3个交点，故ax2+bx+c=k有3个实数根。

通过这样的总结，学生对本题有了全面透彻的理解，会觉得很有成就感，很想小试牛刀一下，成功提高了对数学学习的兴趣，长此以往会进入一个良性循环，在学习数学的过程中让学生形成一种善于思考问题本质的意识，而不是就事论事，浅尝辄止.

迁移延伸：二次函数y=x2-3x-4的图象如图6所示，将其在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线y=x+n与这个新图象恰好有两个公共点时，n的取值范围为______.

按照题意得到的新图象为（图7），把y=x作平移得y=x+1与新图象有3个公共点，y=x-4与新图象有1个公共点，在这个范围之间满足2个公共点，所以满足条件的一个范围是-45. 通过这样分析图象来找答案学生还是比较能够接受、理解并掌握的，多次有意识地训练后学生是能够将此方法迁移到其他类似的问题中去的.

（二）“用形辅数”拓展解题思路，发展求异思维

例2 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（-2，0） ，B（0，2） ，求不等式kx+b>0的解集.

方法一（数的方法）：用待定系数法求出函数关系式为y=x+2，计算不等式x+2>0，解得x>-2即为所求解集.

方法二（形的方法）：根据A，B两点画出直线y=kx+b的图象，根据图象找出 x轴上方的图象对应的自变量的取值范围即为所求解集.

例3 （2013淄博）若m为任意实数，则点P（m-4，m+1）一定不在第________象限.

方法一（推理分析）：因为无论m取何值m-4总比m+1小即点P的横坐标总比纵坐标小，所以一定不会在第四象限.

方法二（利用图象）：通过m的不同取值可以发现纵坐标比横坐标大5，因此若横坐标设为x，则纵坐标为x+5，所以点P在直线y=x+5上（如图9）. 显然点P一定不在第四象限，掌握此方法，这类看似棘手的问题就迎刃而解了.