整体设计、自主探究、拓展思维——等腰三角形概念及性质探究的教学实录与说明

☉浙江省舟山南海实验初中 张宏政

整体设计、自主探究、拓展思维
——等腰三角形概念及性质探究的教学实录与说明

☉浙江省舟山南海实验初中 张宏政

2014年9月25日，学校教研组要笔者开设一堂组内观摩课，借此来一起研究“学为中心”理念下数学课堂的组织形态问题.按照教学进度是上浙教版八上教材第二章特殊三角形中第2节等腰三角形的概念.但笔者在仔细研读教材后，对教学内容进行了重组设计，并取得了较好的课堂教学效果.现将它整理出来，以飨读者，也欢迎广大同仁批评指正.

一、目标定位与学情分析

1.教学目标

（1）通过分类理解等腰三角形的概念，并能正确识别；

（2）探索并证明等腰三角形的性质；

（3）应用等腰三角形的性质解决一些简单的几何证明问题.

2.教学重点

等腰三角形的概念与性质探索是本节课的重点，其中性质证明是本节课的难点.

3.学情分析

笔者任教的八（1）班是年段10个平行班中的1个.我校从2002年开始就对八、九年级施行数学、科学间的A、B班分层教学.本次开课的是八（1）班的A班25名学生，七年级（下）期末数学年段平均分为85.88分，八（1）班的平均分为87.56分，而A班学生的平均分为92.84分.一年多来的数学学习与熏陶，这些学生对数学的学习兴趣普遍浓厚，思维活跃，学习能力也较强，同时，对几何的整体框架与基本研究思路已有了初步的了解，小学里对等腰三角形的知识也有所涉及，这就为笔者整合教材提供了坚实的基础.

二、课堂实录

1.开门见山，直指概念

（请学生朗读）定义、性质、判定——几何研究的三个内容；观察、猜想、论证——几何学习的基本途径.

师：大家都知道，几何是一门直观与逻辑相结合的学科.下面就让我们从观察开始进入到今天的学习之中（出示图1与问题）.

图1

观察图1中的6个三角形，你认为是否存在特殊的三角形.若存在，是哪几个？特殊在什么地方？

生1：我认为②③⑥是一类，它们都有两条边相等；⑤也是一类，它的三边相等.

师：大家都同意他的观点吗？

生2：三边相等其实也可以包含在两边相等之内，所以②③⑤⑥都可以算一类.

师（看到个别学生还有一点疑惑）：哦，看来个别学生还有疑惑.举个例子吧，今天有很多老师来听课，那么听课的女老师是老师吗？

生众：那当然是的.

师：所以，三边都相等的三角形包含在两边相等的三角形中.好，为了研究方便，请给这一类三角形取个名字，并且下一个定义吧.

生众：叫等腰三角形吧.它的定义是：至少有两边相等的三角形叫等腰三角形.

师：非常好，这样三角形按边分类就是：

下面我们来了解等腰三角形的一些概念（PPT呈现）.

如图2所示，已知△ABC中，AB=AC，则△ABC就是等腰三角形.

等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边.

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

图2

师：大家是否理解了这些概念呢？让我们从问题解决中来证实.

做一做：

（1）如图3，点D在AC上，AB=AC，AD= BD.你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角.

生3：有两个，分别是△ABC与△ABD.△ABC的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是∠A；△ABD的腰是AD和BD，底边是AB，顶角是∠ADB.

图3

师：这位同学回答得怎样？别的同学是否有异议.生众：回答正确.

师：同学们理解得都很好，图中的△BDC并没有条件支撑，故不能想当然地认为它也是等腰三角形.请看第（2）题.

（2）已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为5，求它的周长.

生4：若腰长为3，则底边长为5，于是周长=3+3+5= 11；若腰长为5，则底边长为3，于是周长=5+5+3=13.

师：哦，懂得用分类讨论来解决问题，非常不错.那把题目变一变又如何呢？

（3）已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为7，则它的周长又为多少？

生5：周长为17.当三边为7，7，3时，周长为17；当三条线段长分别为3，3，7时，因为3+3＜7，所以不能组成三角形.

师：看来，就算是同种类型的问题，也要充分考虑条件不同所带来的变化.下面就让我们一起来研究等腰三角形的性质吧.

2.操作实践，自主探究

猜想、验证、证明：

如图4，已知△ABC中，AB=AC.

（1）通过观察，你认为等腰三角形有哪些性质？

生众：∠B=∠C.（师板书：猜想∠B=∠C）

（2）请你通过操作验证你的猜想.

图4

（3）由操作方法，你是否想到了证明的思路？请你完成证明.

给每个小组发两张全等的等腰△ABC纸片，操作前提示学生：若用一张纸片如何验证，用两张纸片又该如何验证？约7分钟后，小组代表汇报.

生6：用一张纸片，可以通过对折验证.若用两张纸片，可以把第一个三角形的∠B与第二个三角形的∠C重叠在一起验证.

师：那你们组是如何证明的呢？

生6：如图5，作∠A的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.又因为AB=AC，AD=AD，故△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C.如图6，因为AB=AC，AC=AB，BC=CB，所以△ABC≌△ACB，所以∠B=∠C.

图5

图6

生7（补充道）：也可以用SAS证明，因为还有∠A=∠A.

师：很不错，学习数学就是学习转化.两种方法都是把证明角相等的问题转化成证明全等三角形的问题，可谓殊途同归.但第一种是把三角形分割成一对全等三角形，第二种则是无中生有，复制出一对全等三角形，真是条条大道通罗马啊.那么，通过第一种证明还能得到哪些副产品？

生8：因为△ABD≌△ACD，所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，所以等腰三角形顶角的平分线、底边上的高线与中线互相重合.

生9：因为△ABD≌△ACD，所以等腰三角形还是轴对称图形，角平分线AD所在直线是它的对称轴.

师：非常好，这样我们就从边、角、重要线段、整体这四个视角分别诠释了等腰三角形的定义与性质（板书……）.下面我们把这些性质来巩固一下.

3.巩固新知，内化方法

用一用：

如图7，已知△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE=DF.

生10：因为AB=AC，所以∠B=∠C.因为D为BC的中点，所以BD=CD.又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠DFC=90°，所以△BED≌△CFD，所以DE=DF.

师：利用性质来证明全等，思路很清晰，掌声鼓励一下.还有不同方法吗？

图7

生11：如图8，连接AD，因为AB= AC，D为BC的中点，所以AD平分∠BAC.又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

图8

师：由距离相等联想角平分线性质，进而联想等腰三角形三线合一的性质，真不错.看来，思路决定出路啊.还有不同的方法吗，由两条高线你还能联想到什么？

生12：如图8，连接AD，因为D为BC的中点，所以S=S.因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以AB·DE=AC·

△ABD△ACDDF.因为AB=AC，所以DE=DF.

师：面积法在几何证明中有时会有很大用处，值得同学们好好品味.同时也告诉我们，具备良好的知识结构是多么的重要.下面让我们来练一练.

（1）如图9，已知AB=AC，BD=CD，求证：①∠ABD=∠ACD；②AD⊥BC.

生13：①因为AB=AC，BD=CD，AD=AD，所以△ABD≌△ACD，所以∠ABD=∠ACD.

图9

②因为△ABD≌△ACD，所以∠BAD=∠CAD.因为AB=AC，所以AD⊥BC.

师：还有不同方法吗？

生14：①的证明还可以由AB=AC得到∠ABC=∠ACB，由BD=CD得到∠ABD=∠ACD，再分别相减得到∠ABD=∠ACD，从而问题得证.

师：从上面的证明分析，大家已经明白了证明边（角）相等的方法，既可以考虑两个三角形全等，也可以考虑用同一个三角形等边对等角的方法，关键是要认真分析题中的条件.让我们再看下面的问题.

（2）如图10，已知△ABC中，AB= AC，BD、CE分别为AC、AB边上的高线，求证：BD=CE.

生15：因为BD、CE分别为AC、AB边上的高线，所以∠AEC=∠ADB= 90°.又因为AB=AC，∠A=∠A，所以△AEC≌△ADB，故BD=CE.

图10

师：能用△BEC≌△CDB来证明吗？

生15（思考片刻后）：可以的，因为∠BEC=∠CDB= 90°，BC=CB，由AB=AC可得到∠ABC=∠ACB.

师：看来大家对全等的证明方法理解得非常好，还有不同方法吗？

△ABCAC·BD，又AB=AC，所以BD=CD.

师：哦，如此说来，面积法也应该成为求证线段相等的基本方法，大家同意吧.同时，同学们平时在解题的过程中不应该仅仅满足于完成任务，而应该通过解题来优化思维，总结经验，提炼方法.下面大家就来一起归纳一下本课学习的知识与方法吧……（余略）

三、对教学设计及课堂实践的思考

1.对教材内容重组的认识

先让我们看看教材的安排，等腰三角形从概念到性质共设计3个课时进行探索，其中第1课时是了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性（基于操作基础之上的感性认识）并应用，第2课时先探究等腰（等边）三角形角的性质，第3课时再探索等腰三角形的三线合一性质.同时，教材对等腰三角形的概念是通过“在小学我们已经学过，有两边相等的三角形是等腰三角形”这样一段文字直接给出的，缺少为什么要研究的动因，而教材对性质探究的安排，又人为割裂了知识发生发展的过程与相互联系，按照这样的设计展开教学，容易让学生只见树木，不见森林，难以对几何的基本研究套路形成清晰而完整的认知.就像欣赏一首优美的曲子时总是在动听处嘎然而止，极不自然.于是便有了本课一气呵成的重组：从若干三角形中寻求特殊（按边特殊分类）→定义等腰三角形（提出课题）→研究性质→观察猜想→验证解释→分析证明→巩固运用→归纳小结.这样的设计，遵循了学生的认知规律，既为后面直角三角形（按角特殊分类）的教学进行了铺垫，也为今后让学生自主研究特殊平行四边形奠定了必要的方法基础.

2.对等腰三角形性质探究及内化设计的说明

本课的教学重点是等腰三角形性质的探究，因此，如何让学生自主发现证明思路就是本课的关键事件.事实上，多年的教学实践经验告诉笔者，第一种证明思路学生容易想到，而第二种证明思路学生确实不容易想到.于是，本设计借用了两张全等的等腰三角形纸片，让学生在自主验证猜想的过程中发现两种证明的思路，并在后面的方法对比环节让学生从思想方法的高度体验两种证明思路的本质是一致的.值得一提的是，这样的设计是可行也是有效的，学生在后面探究勾股定理逆定理的时候，就比较自然地想到了复制一个直角三角形进行证明.

数学教学的本质是思维活动的教学，这就要在课堂上给学生留下充裕的思考时间.而本课的容量又很大，为克服这对矛盾，就必须在问题的设计上做到典型、精炼且解法多样，能满足学生巩固知识，领会方法的目标.于是笔者仅安排一道内涵丰富的例题进行巩固，用两个习题进行内化.课堂实践表明，学生的思维空前活跃，有效达成了教学目标.

3.对课堂教学组织的思考

本课观摩的初衷是研究“学为中心”理念下课堂教学的基本组织形态，这也是目前课堂教学变革的热门话题.但不可否认的是，目前的一些课堂变革存在庸俗化、功利化的倾向.特别是一些不管学科特点的模式化做法从一个极端走向了另一个极端.这里，笔者无意去评论这些现象.只是从数学教育的本质，学生思维发展的目标思考，我们的数学课堂既要不断提高学生学习的自觉性，也要有效发挥教师启发、引领的作用；既要重视学生的独立思考，也要给学生的合作交流、思维碰撞提供机会.本课的实践过程正是以此为指导思想而展开，探究时放开，交流时等待，介入时引导，自主时明确要求.以知识的发生发展为线索，以学生巩固知识、内化方法、体验思想作为教学的根本与归宿.正所谓，一节好课，其深厚之处一定在于教师对教学内容独到的解读，在于对学生精准的理解，在于对教育理念的深刻把握.故此，教学之美一定是在调动教与学双方力量的过程中产生的.它既是规律之美，也是艺术之美.

1.义务教育教科书·数学（八年级上册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.

2.章建跃.探究数学规律，造就数学名师［J］.中国数学教育（初中版），2011（1-2）.

3.裴光亚.教学的智慧［J］.中学数学教学参考（下），2008（4）.

4.浦叙德，谢洁红.从知识整体性视角设计主问题引领课堂教学［J］.中学数学（上），2014（10）.

5.余慧娟.教学改革的方向性思考［J］.人民教育，2011（1）.