从激活到升华：积累数学活动经验的基本路径*——探索三角形相似的条件（3）教学片断赏析与思考

☉江苏省泰州市教育局教研室 钱德春

☉江苏省泰州市姜堰区实验初级中学 石建华

从激活到升华：积累数学活动经验的基本路径*
——探索三角形相似的条件（3）教学片断赏析与思考

☉江苏省泰州市教育局教研室 钱德春

☉江苏省泰州市姜堰区实验初级中学 石建华

《义务教育课程标准·数学》（2011年版）［1］（以下简称“课程标准”）指出：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验需要在‘做’的过程和‘思考’的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的.”江苏省“十二五”重点规划资助课题《基于积累初中生“数学基本活动经验”的教学设计研究》正是从积累数学活动经验的视角来研究课堂教学的基本路径，将初中数学课堂分为经验激活、经验积累、经验迁移与经验升华等活动经验的四个层次.那么，基于积累初中生“数学基本活动经验”的教学设计有何特征、四个层次相互关系如何、对课堂教学有何意义，本文以苏科版义务教育实验教科书·数学八年级（下）［2］第十章第4节“探索三角形相似的条件（3）”为例，结合课堂教学路径的探微与赏析，谈谈笔者的几点思考.

一、基于积累活动经验的教学路径探微

这是2013年泰州市教育局组织的“名师送教下乡”活动中的一节观摩课，教者根据活动经验的四个板块设计并实施课堂教学.

1.经验激活

教学片断1如下所示.

师：同学们，今天我们继续来探索三角形相似的条件.（板书课题：探索三角形相似的条件（3））

师：老师这里有几个问题，同学们有兴趣和胆量来挑战吗？

生（异口同声）：有.

师：问题1：如图1，在△ABC中，点M、N分别是AB、AC的中点，连接MN.△AMN与△ABC相似吗？为什么？

图1

生1：因为MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，根据平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知△AMN∽△ABC.

生3：因为MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，所以∠AMN=∠B，而∠A为公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可知△AMN∽△ABC.

师：刚才3位同学不仅找到了证明思路，而且还清晰、完整地表达出来了，很好！上面的3种思路实际上是我们已经学习过的“说明三角形相似”的3种条件，谁再说一遍？

生4：（略）.

【赏析】通过一个简单问题的解决，激活学生已有认知经验，为积累更高层次的活动经验奠定基础.本节课之前学生已有了说明三角形相似的经验（方法）：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线）所得的三角形与原三角形相似；②有两角对应相等的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.本节课的核心知识是三角形相似的条件（3）：“三边成比例的两个三角形相似”，教师设计了问题1，并通过一题多证的活动，旨在激活学生已有的经验，为探究新知作铺垫.

2.经验积累

教学片断2如下所示.

师：△ABC与△AMN三边之间存在什么关系？对应边的比值是多少？

生5：△AMN≌△DEF.

师：能说明理由吗？

图2

师：你的说理很到位，那么△ABC与△DEF之间又是什么关系呢？

生5：相似，因为△AMN≌△DEF，△AMN∽△ABC，从而△ABC∽△DEF.

师：在说明△ABC与△DEF相似的过程中，你认为哪一步至关重要？

生5：找出△AMN，因为这个三角形既与△ABC相似，又与△DEF全等.

师：对，△AMN既与△ABC相似，又与△DEF全等，它相当于是一座桥梁，沟通了△ABC与△DEF的关系.

【赏析】数学学习是一个不断积累新经验的活动过程，“多次经历类似的数学活动，学生就会将在前一活动中获得的经验运用于新活动中，‘还原’前一活动经验于新活动中的数学对象……获得进一步的数学活动经验.”［3］“经验积累”过程是提出并解决新问题、积累新经验的过程.“有效利用学生已有的经验，展开课堂教学，提高学生的数学学习能力，可以滋长新的数学学习经验.”［4］这个板块中，首先由“问题1”的结论得到“两个相似三角形三对应边的比都为2”，进而提出逆命题自然而然引出“问题2”，然后将三角形相似的判定方法1、2的证明思路（将问题转化为△ABC与△AMN相似、△DEF与△AMN全等）运用于“问题2”的解决.教师从特殊位置入手，通过搭建脚手架，让学生拾阶而上，强化了已有经验的积累，并为新经验的形成做好准备.

3.经验迁移

图3

教学片断3如下所示.

师：回答得太好了，你是如何想到的呢？

生7：是由“点M、N分别是AB、AC的中点”情形的证明过程得到启发，也是找到了一个桥梁△AMN，先证明△ABC∽△AMN，再证明△AMN≌△DEF，从而得到△ABC∽△DEF.

师：这种思维方式很好！当我们直接证明△ABC∽△DEF困难时，想到借鉴“问题2”的思路，即建立桥梁沟通△ABC与△DEF的关系，就是把要解决的问题转化为已经解决的问题，这其实就是方法的迁移.

【赏析】迁移能力是一种重要的创新能力.“第一次数学活动中获得原初经验；第二次遇到相同情景时，经验再现，称为再生经验；再次遇到类似情景时，迁移运用先前经验，产生再认识经验；在形式不同、本质一样的新情况下，按照‘模式’重复运用这种经验时，这种经验就成为概括性经验.”［5］这个过程中，学生在教师引领、同伴互助、研讨交流活动中，运用类比的方法将解决“问题2”的活动经验成功地迁移到“问题3”的解决中，并自主地完成思路分析与说理过程.这个过程就是“经验迁移”过程.

4.经验升华

教学片断4如下所示.

图4

生众：相似.

师：由此我们可以大胆地猜想出说明三角形相似的又一种方法.谁仿照三角形相似的条件（1）、（2）描述一下？

生8：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

师：大家先独立思考一下，再请同学们说说自己的想法.（学生自主思考3分钟）

生9：老师，感觉这个问题无从下手.

师：为什么会有这种感觉？

生9：因为这个图和刚才的图不一样.

师：不一样在何处？

生9：刚才的图中都有△AMN，而这个图中没有.

师：非常好.

生9（莫名其妙）：老师，我还没回答出问题，你怎么还夸我非常好啊？

师：你能找出图形间的差异，而这个差异恰恰就是解决问题的关键，当然要表扬你！

（生9摸了摸头，憨厚地笑了）

师：你能不能想出什么办法让这个图与前面的图类似呢？

生9：构造出△AMN.

师：如何构造呢？

生9：分别在边AB、AC上截取AM=DE，AN=DF，连接MN，这样就出现了△AMN.

师：太棒了！有了△AMN后，我们又该怎么办呢？

生9：和前面的方法类似，先说明△AMN与△ABC是相似的，再说明△AMN与△DEF是全等的，这样就可以知道△ABC与△DEF是相似的.

师：又该如何来说明△AMN与△DEF是全等的呢？

【赏析】“概括性经验在多次调用、反思后才能内化为经验图式.”［4］从这个教学片断看出，由“问题3”到“问题4”，提出了更一般化的结论和猜想.有了前面的经验激活、积累与迁移过程，“问题4”的证明水到渠成，数学活动经验也得到了升华.经验有时可能只是浅表的、直觉的、不稳定的，有时只能意会却难以言表.教师的作用就在于通过恰到好处的追问、点拨、提炼，引导学生将数学活动经验升华为数学的方法、策略和思想.

二、基于积累活动经验的课堂教学思考

1.从激活到升华是经验积累的基本路径

激活、积累、迁移、升华是基于积累数学基本活动经验的初中数学课堂的基本特征与教学路径.“经验激活”环节就是从学生的认知基础与认知结构出发，通过设计恰当的问题（或情境），唤起与激活学生原有的认知经验，为进一步积累新经验、探究新知识作好铺垫；“经验积累”即在解决原有问题基础上自然生成新问题，并通过搭建脚手架，让学生拾阶而上，在解决问题过程中积累新的经验；“经验迁移”环节则是学生通过教师引领、同伴互助的学习方式将已有的活动经验用类比、转化的方法迁移到新的数学问题的解决之中，这个过程的主要特点是同化与顺应；“经验升华”是课堂教学的关键，是将学生的感受、体验和感悟升华为数学的方法、策略、思想和思维习惯.四个层次的板块都以活动为载体.经验与活动紧密相连，活动是经验的源泉，经验在活动中获得，也在活动中发展.数学活动经验既是教学目标也是教学内容，既是学习过程也是学习结果.

2.从感性到理性是经验积累的必然选择

“经验是个体在认识事物、解决问题等活动过程中获得的关于对象的观点、看法、做法等.从学生认知的角度，经验是个体获得知识、方法之前必然面对的事物”［6］，数学活动经验是指“在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识.”［7］数学活动经验的激活、积累、迁移与升华的过程是逐层递进、有时还是交替提升的过程，这个过程以知识生成为线索，以数学的方法提炼、思想渗透、思维发展、情感升华为目标，只有经过组织和内化，才能把感性的经验转化为理性的知识（这里的知识是广义的），即“将活动经验转化为学习能力，最终获得极具个性特征的感性认识、情感体验、数学意识、数学能力和数学素养.”［8］因此，数学活动经验最终要实现三个方面的升华：一是将浅表层面的经验升华为本质的经验；二是将特殊（个体）的经验升华为一般（普遍）的经验；三是将感性（会意、直观）的经验升华为理性（演绎、表征）的经验.我们熟悉的“七桥问题”，哥尼斯堡的民众通过若干实验都没能解决，而欧拉敏锐洞察到该问题与所走过的路程长度无关，把七座桥抽象为七条线，从而将问题抽象为一笔画问题得到解决.这正是欧拉将浅表的、感性的经验升华为本质的理性经验的结果.

3.从“支架”到“放手”是经验积累的教学方略

立足课堂活动并获得经验的迁移与升华，是基于积累数学基本活动经验的初中数学课堂的显著特征.“学生数学学习的过程是建立在经验基础之上的一个自我再创造（或创新构造）过程.在这一过程中，学生通过多样化的活动，不断获得、积累经验，分析、理解、反思经验，从而获得发展.”［9］由探索初期的“经验激活”到“经验积累与迁移”，教师通过建立“脚手架”，适时点拨和提示，引导学生逐步攀升，让学生尝试自己发现并提出问题、分析并解决问题，提炼数学思想、方法和策略，实现“经验升华”，充分体现了课堂“收”“放”的教学方略.这个过程中，教师对学生在知识构建过程中的“支架式”帮助是不可或缺的，这是“收”的策略；随着教学活动的逐步深入，教师所提供的支架自然撤去，教师的“帮助”逐渐弱化，让位于学生的自主活动，还给学生自由发挥的空间，让学生独立分析和解决问题，这是“放”的艺术.一“收”一“放”之间，体现了教师的教学智慧.

4.自上而下结构是经验积累的思维指向

思维是数学的体操，数学活动经验积累最终要指向思维.本节课以学生已有的经验为起点，通过搭建脚手架，让学生拾阶而上，在解决问题过程中积累、迁移并升华新经验，这是一种自下而上、由易到难、逐步生成的教学方法.需要指出两点：一是学生不明白为什么要研究这些问题，即学习的价值何在，只是沿着教师预设好的路径前行.事实上，“学生只有在感受到新异、冲突和不足时，才会产生一种认知和情感方面的需要.”［3］二是“拾阶而上”的方法缺少挑战性，不利于创新思维能力的培养.修改后的“课程标准”将原课程标准的课程目标之一的“解决问题”变为“问题解决”，在“分析问题、解决问题”之前增加了“发现问题、提出问题”，正是着眼于学生创新能力的培养.基于此，在“经验激活”环节，可以先启发学生提出富有挑战性的问题（或情境），引起学生的愤悱与困惑，进而激发学生思考，这种自上而下的问题结构直指数学思维.本节课问题引入部分可设计如下问题链.

（1）前面我们学过的三角形相似的条件有哪些？

（2）三角形相似的条件（1）、（2）分别是怎样得到的？对应于三角形全等的哪个定理？

（3）三角形全等的判定还有什么？

（4）你能类比三角形全等的“SSS”判定方法，提出三角形相似判定的新命题吗？

（5）你提出的命题正确吗？

问题提出之后，继续沿着从经验激活到升华的路径前行，当学生力所不能为时，可以逐步将问题分解、后退，直至学生思维能及之处，这种设计契合了课程标准倡导的理念，强化了数学活动经验的思维指向.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.杨裕前，董林伟.义务教育实验教科书·数学［M］.南京：江苏科技出版社，2012.

3.仲秀英.促进学生积累数学活动经验的教学策略［J］.数学教育学报，2010（10）.

4.汪佃才.“数学基本活动经验”来自数学活动［J］.中学数学（下），2014（5）.

5.仲秀英.数学活动经验研究［D］.重庆：西南大学数学系，2008.

6.马复.关于促进学生数学活动经验的教学认识［J］.中国数学教育，2011（10）.

7.徐斌艳.面向基本数学活动经验的教学设计［J］.中学数学月刊，2011（2）.

8.蔡卫兵.转化引领割补搭桥相似突破——品悟勾股定理证明的合理思维与自然证法［J］.中学数学（下），2014（5）.

9.黄翔，童莉.获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标［J］.课程·教材·教法，2008（1）.

*此文系江苏省重点资助规划课题《基于积累初中生“数学基本活动经验”的教学设计研究》（批准号E-a/2011/07）的研究成果．