数学物理方程绪论课的教学

吴楚芬

摘 要 绪论课是课程建设中的重要一环，具有基础性和导向性。通过绪论课的有效引导，使学生顺利地进入新学科的学习，进一步使学生了解本课程将要学习的基本内容。本文通过介绍数学物理方程的发展史，研究内容和意义，阐述如何上好绪论课，从而激发学生的学习兴趣。

关键词 数学物理方程 绪论课 教学探讨

中图分类号：G424文献标识码：A   DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.04.047

Teaching of "Mathematical Physics Equations" Introduction Course

WU Chufen

（Department of Information Science and Mathematics， Foshan University， Foshan， Guangdong 528000）

Abstract Introduction lesson course construction is an important part， with basic and oriented. By effectively guide introduction class， students smoothly into the new discipline of study， and further enable students to understand this course will learn the basic （content article through the history of introduction "mathematical physics equations"， content and meaning to explain how the good introduction class to stimulate students' interest in learning.

Key words mathematical physics equations; introduction course; teaching discussion

数学物理方程是佛山科学技术学院数学专业的基础课程，该课程的开设不仅为后续的偏微分方程专业课程奠定了必要的基础，更为研究生阶段的课题研究储备了必需的数学应用能力。这门课程有两大突出特点：其一是所需要的基础知识多，它涉及到数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数与泛函分析、复变函数和普通物理等课程。因此讲授起来具有一定的难度，学生学习效果普遍不佳。如何深入浅出地讲好这门课，激发学生的学习兴趣一直是我深思的问题。其二是这门课与现代数学前沿领域的诸多问题有密切的交叉联系， 如何在学生已有认知下，将有关前沿问题的讯息传授给学生，扩大他们的视野，培养他们的科研能力，也是我酝酿已久的问题。

绪论课是数学物理方程教学之始的关键点，具有基础性和导向性。通过绪论课使学生对这门课程的整体框架建立一个初步感观，了解学习内容、明确学习方向、掌握学习方法、认识课程的前沿动态，进一步解决“为何学”、“学什么”和“如何学” 三个问题，从而充分调动他们日后学习该课程的积极性。以前，笔者在教学中对绪论课的重要性认识不足，基本上照本宣科，复述课程的绪论内容，另一方面，限于课时少的因素，对于该课程的发展历史等精彩部分常省略不讲，导致学生对该课程的认识不深，越听越烦，没有发挥绪论课的引导性作用。经过一段时间的教学实践与思考，笔者认为必须尽快转变“绪论可有可无，浪费课时”的错误想法，树立“绪论既是教材的重点，也是教材的难点”的正确观念。其实，对于数学专业的学生来说，最感兴趣的莫过于数学理论、方法对社会发展所起的重要作用。通过讲解数学物理方程的发展简史及其在社会发展中所发挥的作用，可以引起学生的共鸣，激发学生的学习热情。近几年，笔者通过对绪论课内容的不断更新完善，以及对多媒体课件的精心设计，使学生及时认识到学习数学物理方程的必要性和重要性，取得了良好的教学效果。现就绪论课的教学实践做四点总结。

1 简介数学物理方程的发展史

数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（包括积分方程、微分积分方程等），它们反映未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的相互制约关系.

18世纪初期，Jacob Bernoulli， Johann Bernoulli， Daniel Bernoulli， Brook Taylor， Euler等学者对弹性物体的变形和流体的运动等物理问题的广泛研究导致了数学物理方程的诞生。但在1740年以前均没有找到描述这类问题的一般偏微分方程，第一个力学上的一般偏微分方程，即重链在其铅垂的平衡位置附近振动的方程，是由DAlembert在1743年提出的。1746年，DAlember以小提琴弦为典型的弦振动问题导出了著名的弦振动方程。从那以后，陆续诞生了声音传播的波动方程，膜的振动方程，杆的振动方程等一系列数学物理方程。1750年，DAlembert提出了利用分离变量法的思想求解弦振动方程。为了得到泛定方程满足定解条件的解，Daniel Bernoulli于1753年提出将解叠加的思想。但得到了同时代流体热学专家Euler， Lagrange等人的反对。19世纪，Fourier在研究热传导问题时，碰到了和他的前辈们在研究弦振动方程时同样的难题，即是否任意函数都可以表示成三角级数？Fourier对这一问题持肯定态度并将其发展，后人称为Fourier方法或驻波法。但Fourie的论证不严密，历史上第一次给出函数可以展成三角级数的充分性条件是Dirichlet. 1782年，Laplace在研究位势函数时，发现了Laplace方程。19世纪中叶，从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分方程的一般理论，如方程的分类、特征理论等。Cauchy是讨论数学物理方程解的存在性的第一人，1848年，他在一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组，然后讨论偏微分方程组解的存在性并提出证明存在性的强函数方法。数学物理方程的求解促使数学其他分支如泛函分析、变分法、复变函数、数值计算、代数、微分几何等各个学科的快速发展。到了20世纪，随着电子计算机和数学其他分支的迅速发展，数学物理方程的研究也取得了前所未有的发展，这些发展呈现如下特点：（1）出现更多的非线性偏微分方程（组）;（2）定解条件由传统的线性、逐点表示发展为非线性、非局部;（3）与计算机、数学其他分支的关系更为密切。

2 介绍数学物理方程的内容

佛山科学技术学院数学物理方程的授课学时仅有32学时，学生的大学数学、普通物理的基础知识比较薄弱，因此教学任务集中，难而繁的定理证明或模型推导只讲思想不讲过程。课程的教授内容主要是讲授三类典型方程：波动方程、热传导方程和位势方程和四种典型方法：分离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法。进一步，指出这三类方程的推导是利用两大物理定律——守恒律和变分原理以及两个数学基本方法——微元法和Fubini交换积分次序定理;而四种方法也是围绕这三类经典方程在不同定解条件下展开的。具体而言，对于弦振动方程，主要学习弦振动方程初值问题的特征线法和行波法、弦振动方程半无界问题的对称延拓法、弦振动方程混合问题的分离变量法。对于热传导方程，主要学习一维热传导方程初值问题的Fourier变换方法、一维热传导方程半无界问题的对称延拓法、一维热传导方程混合问题的分离变量法。对于位势方程，主要学习基本解和Green函数法。通过数学物理方程的学习，学生需要达到以下三点要求：第一，从实际问题中抽象出来的数学物理方程的建模及相应的求解方法;第二，理解数学物理方程中的系数或边界条件所描述的物理背景以及利用数学结果解释物理现象;第三，利用Matlab的工具箱画图，辅助分析解的性态。

3 研究数学物理方程的意义

数学物理方程广泛应用于人口问题、流行病动力学、种群生态学、高速飞行、石油开发、城市交通等各个领域，以三大经典方程为例，热传导方程可以应用于金融数学中的期权模型，Laplace方程常应用于电磁场，借助波动方程可以判断煤层是否能安全生产。有时，单个数学物理方程不足以刻画物理现象或规律，而需要多个方程耦合而成，例如，油田试井中描述渗流过程的数学物理方程一般由以下四个方程融合而成：第一，反映渗流过程中物质平衡的连续方程;第二，描述物质运动行为特征的运动方程;第三，反映渗流过程中流体及介质状态变化的状态方程;第四，表征渗流过程中产生的一些特殊的物理化学过程的特征方程。针对这个问题，我们可以假设均质有界地层，外边界定压，初始压力均匀分布，流体为单相可微压缩等条件，在合理假设条件下，省略一些因素，构建相应的泛定方程和定解条件，从而就构成一个数学物理方程的定解问题， 对方程进行分类，化简，选取合适的数学方法进行求解，利用求解结果解释物理规律。

4 多媒体课件与Matlab软件包模拟综合运用，改善教学效果

为吸引学生的注意力，提高他们的学习兴趣，在课堂教学中，笔者综合运用多种教学手段提高教学质量，改善教学效果。首先是充分发挥多媒体教学的优势。多媒体课件可以综合多种教学艺术效果，根据数学物理方程绪论课的特点，通过精心设计，恰当地使用图片、文字、声音、动画等形式，充分发挥多媒体形象、直观、交互性强的优势，创造生动的教学氛围。其次，Matlab具有强大的数值计算和数据图形可视化的功能，因此在数学物理方程这种理论性强的课程教学中，适当地引入Matlab的实验教学，使许多抽象问题的求解过程被直接地演示，将抽象的数学知识，繁杂的计算过程直观地呈现在学生的面前，使学生对相应的算法有直接的认识，从而激发他们学习数学物理方程的兴趣，进一步强化学生的应用意识，培养学生的实践动手能力。

通过绪论课的有效引导，使学生快速地明白数学物理方程的主旨和篇章结构，熟悉教材的知识系统，发挥主动学习数学物理方程的积极性，初步了解握数学物理方程的一般理论和研究方法，启发和培养学生浓厚的学习兴趣，建立整体概念，为达到理论与实践相结合的新型应用性人才的培养目标，起个好开端。另一方面，通过愉悦地学习绪论，达到师生之间的感情交流，使学生对老师的敬佩之情转化为对该课程的喜爱，从而建立学生学习数学物理方程的良好心理环境。

基金项目：佛山科学技术学院教改项目“理论与建模相结合的《常微分方程》实践教学”

参考文献

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[2] 李汉龙，缪淑贤.数学物理方程[M].北京：国防工业出版社，2009.

[3] 李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4] 赵忠奎，郑慧军.数学物理方程案例教学与研究[J].牡丹江大学学报，2014.23（4）：184-187.