数学教学的“起承转合”——以《函数的概念》一课的设计为例

施 雯

（上海市第三女子中学，上海200050）

2014年底，笔者有幸参加了全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动。当时上海市级比赛的指定课题是《函数的概念》。经过半个月的预备与调整，这节课受到了评委和学生们的认可，而通过博观、约取、交融、自省，笔者得以进一步完善数学教学方法。在这里分享笔者的教学设计过程与反思，希望得到大家的批评指正。

一、“起”——三个方面的预备工作

1.理解函数及其相关知识

上教版高一数学《函数的概念》的教学，笔者的第一个预备工作就是大量阅读各版本数学教材，查阅期刊与图书，争取从一个较高的视角理解“函数”。通过近乎地毯式的查阅学习，笔者对以下知识与内容有了比较清晰的理解：

·映射与函数的关系；

·几个函数的概念：变量说、对应说、映射说、关系说等；

·f（x）的函数记号意义与函数值意义；

·函数表示方法的多种多样；

·高等数学中的广义函数概念。

一开始，这些知识在笔者的头脑中是零碎的，但之后得到系统整理，所有的设计都以此为坚石，建筑其上。

2.梳理函数概念的历史发展

从数学史的角度切入，纵向梳理数学概念常能给教学带来启发。所以，笔者也仔细查阅了函数概念的发展历史。历史上正是先有函数概念的“变量说”，后抽象出“对应说”，再进一步得出“关系说”。这和上教版教材的安排一致：八年级时学生接触了“变量说”函数概念，高一年级再学习“对应说”。概念的深化是循环上升的，而人的思维也是如此。

“函数关系可以存在而关系本身可以不知道”，Riemann在1834年关于函数“对应说”的这一解读对我们仍然极具启发；而Dirichlet构造的、以他名字来命名的函数在概念演进中是一座里程碑，在笔者的教学设计中也被吸纳为一个亮点。

3.了解学生的函数学习现状

如前文所说，高一学生已经在八年级学习过《函数的概念》，那么他们的先入之见是怎样的？了解学生函数概念学习的现状是第三个预备工作。笔者发现他们对具体的一次函数、反比例函数、二次函数很熟悉，对“自变量”、“因变量”、“定义域”、“值域”这些数学术语以及符号“f（x）”也不陌生，但对于抽象的函数概念比较生疏，这些函数知识未能形成整体的知识框架；八年级教材中已经用“图像法”与“列表法”表示过函数，但学生往往片面地将“函数”等价于“函数解析式”；有些学生还会将“函数”与“二元方程”混淆起来。学生的所知与所惑是教学设计的起点。

预备工作虽然分成三块，但它们也有共通性，“从数学的发展过程可以更清楚地了解数学知识结构的形成，而学生学习上的疑惑亦往往是历史上数学发展中的一些重要转折。”［1］（P5～9）所以教学预备不分先后，而是同时开展了阅读与学习，为后续的设计与实践作准备。

二、“承”——选择恰当的实例引入

函数现象在生活与科学领域普遍存在，用实例引入函数概念是一开始就被确定的教学思路。恰当的实例可以带给学生“似曾相识”之感，对新的概念形成“山雨欲来”之势，那么究竟怎样才是“恰当”的呢？具体来说，有这样几个问题需要思考：要举几个实例才够？是否包括反例？是否沿用教材中的例子？如果选择教材外的例子，它的优势在哪里？笔者最终选择的三个实例或来源于生活，或是学生熟悉的物理实验问题：

实例1：自由落体实验

从10米的高处让一个小球自由落下，已知重力加速度为9.8m/s2，若空气阻力忽略不计，试用恰当的方式表示小球在下落过程中经过的距离y（米）与时间x（秒）的关系。

实例2：10月手机流量走势图（见图1）

图1 10月手机流量走势图

图2 麦当劳菜单中的编号和价格

小明每个月手机移动数据总流量为50MB，10月份他的剩余流量y（MB）与时间x（天）之间的关系可以用图1来描述。这个图中的两个变量：时间x与手机流量余额y是“函数关系”吗？为什么？

实例3：麦当劳点餐（见图2）

一位外国人走进麦当劳餐厅，他想买一个汉堡包，可他看不懂中文菜单，想一想他该怎样来点餐呢？如果他指出所选择汉堡包的编号，那么营业员就能奉上他想要的汉堡包，他所需支付的价格也被唯一确定了。这里有两个变量：编号和价格，它们也是函数关系吗？思考一个合理的表示方法使编号与价格的关系一目了然。

这三个实例从外在形式上恰恰运用了本节课要介绍的三种表示方法：解析法、图像法与列表法。从内在价值上说，第一个实例“自由落体实验”是学生在初中就已经学过的最经典的物理实验，以此为例简单明了地点出本节课的主题是“函数”，温习了初中的函数概念。自由落体运动中时间变量有意义的范围而需特别留意，借这个易错点又让学生关注了定义域，并对函数三要素建立了整体的观点。第二个实例“手机流量余额走势图”和当代高中生的生活息息相关，可以让学生发现生活中的函数现象比比皆是。而这个难以用解析式来拟合的函数图像，排除掉“解析式”这一表示方法的干扰，也向学生们展示了“对应关系”的本质。第三个实例“麦当劳点单问题”的意义不仅在于介绍了列表法，抛开解析式突出对应法则，更在于通过对换自变量与因变量，提出“编号是否是价格的函数”这一问题，由反例的辨析使学生明确函数的对应必须是“单值对应”。三个实例从熟悉的情境中提炼函数，从多角度呈现函数，从正反两方面辨析概念，从低到高层层抽象，很好地帮助学生理解概念。

书本上的例题，如“出租车定价问题”是一个分段函数，起点较高；而110栏世界纪录问题的定义域不是实数集合，为符合学生的最近发展区笔者做了相应的替换。但笔者所选择的实例也有不足之处：“麦当劳点单问题”中编号的集合是不是实数集呢？自然数有基数与序数两种意义，而编号取其序数意义。但从康托尔对实数的严格定义上来说，编号的集合中元素间的加法与乘法是无意义的，说这个集合满足实数集的四组公理略显牵强。但由于它在教学中的应用价值，对这一争议也就暂且存而不论。

三、“转”——设计实践的一波三折

为能更好地将“函数”这一数学核心概念传递给学生，笔者不断修改教学设计和实践。但设计的框架是基本不变的。所设计的四个环节：“概念的温习”、“概念的深化”、“概念的抽象”、“概念的应用”，从学生初中已学的知识入手，层层深化、层层抽象，从“变量—依赖关系”上升到“集合—对应关系”的函数概念。

·概念的温习：通过实例1“自由落体实验”温习初中的函数概念，指出“变量说”中需要精细化的部分，明确本节课的目标是再次学习“函数”这一概念。

·概念的深化：通过三个实例帮助学生体验函数不同的表示方法；理解函数概念的核心是单值对应；理解函数是由定义域、对应法则以及由此唯一确定的值域所构成的整体。这一阶段鼓励学生充分参与，给他们足够的时间思考体验。

·概念的抽象：抽象出“集合—对应关系”所描述的函数概念，用准确的数学语言来刻画。

·概念的应用：应用函数的概念解决练习及其变式问题，巩固概念理解。

然而两次试讲带来的变化也不少，笔者将三个教学设计中有明显变动的部分列了表格（见表1）。可以看到，即使最核心的“教学目标”也有过调整。就像李·舒尔曼教授（Shulman，L.S.）所说：“I understand，therefore I teach；I teach，therefore I understand.”［2］（P1～22）通过实际的教学，笔者对教材与知识才有了进一步的理解，这促使笔者能不断地进行优化。

表1 三次教学设计对比表

教学目标 1.在初中函数概念的基础上，通过实际的例子，深化“函数”这一核心数学概念，并用数学语言准确地刻画。2.理解并掌握函数的三种表示方法：解析法、图示法与列表法；并且能对不同的问题选择恰当的方法。3.通过多个函数的例子，理解函数三要素，掌握确定一个函数的方法。1.在初中函数概念的基础上，通过实际的例子，深化“函数”这一核心数学概念，并用数学语言准确地刻画。2.理解并掌握函数的三种表示方法：解析法、图示法与列表法；并且能对不同的问题选择恰当的方法。3.通过多个函数的例子，理解函数三要素，掌握确定一个函数的方法。1.在初中函数概念的基础上，通过观察、辨析几个实际的例子，逐步抽象出“函数的概念”，并用准确的数学语言进行刻画。2.理解并掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法与列表法，并揭示出三种方法背后的本质，即“对应关系”。3.通过多个具体函数的例子，理解函数的三要素，掌握确定一个函数的方法。初中“变量说”函数概念的处理方法既放在“概念的温习”环节，指出其中不明确、有待精细化的语言，又在“概念的抽象”环节中与“集合－对应关系”进行对比。板书设计 板书解析式或表格，板书函数概念的文字。放在“概念的温习”环节，指出其中不明确、有待精细化的语言。放在“概念的温习”环节，指出其中不明确、有待精细化的语言。对每个实例都用图示表示出一致的结构：函数的三要素；用抽象的“D－f－A”图示概括函数概念。投影函数概念的文字。进一步精细图式化的板书设计，突出函数三要素，突出对应关系。求定义域问题 放在“概念的应用”环节，例题2。 不特意涉及。 融入到每一个实例与例题中。函数三种表示方法的对比放在“概念的深化”环节，实例3即用列表法、又用图像法表示。不特意涉及。 放在“概念的应用”环节最后一道例题，用解析法、图像法、列表法表示同一个函数。

在第一次试讲后，笔者发现所设计的内容在40分钟的时间里很难完成。所以教学设计的一大改变就是“突出教学重点，精炼教学内容”。上教版数学教材中，这节课的第一个例题就是求函数的定义域，但为了给学生足够的时间来观察、辨析、实现“函数概念的抽象”这一最重要的目标，教师在第二稿中把“定义域的求法问题”删除了。另外，也发现把“函数三种表示方法的对比”放在实例3中，不仅不能帮助学生比较各个方法的特点，还弱化了实例3辨析函数“单值对应”的效果，学生对这个实例的目的性感到茫然。对比的时机和载体都不恰当，所以在第二次设计中也将它删除。

第一次试讲课堂效率不够高的原因还在于板书设计的不合理。受到映射图示表达的启发，我们发现可以将各个实例中的具体信息隐去，而将定义域、对应法则、值域分别抽象出来（图3），再从这三个图式表达中找到一致的结构：即定义域D通过对应法则f得到确定的值域A（图3），用这个高度抽象的图式来简洁地展现出函数的共性，淡化“函数的表示方法”、“对应法则的符号”、“变量字母的选择”这些非核心属性，突出函数概念的重要属性是函数三要素。也让学生不必逐字逐句记忆概念，而用看图说话的方式把函数概念表述出来。这一设计使第二次试讲效果很好。

第二次试讲的教学节奏紧凑、学生参与度很高，但课后教师反思：学生走出课堂时与他们走进课堂时应该有什么不同？这节课有没有将他们领进函数概念的核心？有没有带他们思考函数本质的问题？追问这节课的最大价值，笔者意识到并不在于介绍函数的表示方法，也不是介绍“集合－对应”的数学语言，而是让学生理解函数的本质——“对应关系”。教学目标的变化就来自于对这节课价值的深一层认识，而其他相应的调整都围绕这个目标而展开。

图3 图式化表达的函数概念

首先是将“变量－依赖关系”与“集合－对应关系”两个函数概念进行了对比。新的概念用了集合语言与对应法则f：什么是函数关系呢？用“对应法则f”表达比“依赖关系”更数学化更准确；“对应法则f”是不是一定有显性的解析式、图像或表格呢？其实f可以理解为一个“黑箱”，一个非空实数集中的元素只要输入“黑箱”f，就有唯一确定的实数输出，这就建立起了函数的关系。但两种概念虽然有分别，实际上又是统一的，通过对比教师又能帮助学生将初高中函数的知识整合起来。

其次，将“函数三种表示方法的对比”放到最后一个例题的变式中，也作为整节课的收束。

例题：下列各组所表示的函数是否相同？请同学们判断并说明理由。

③f（x）＝2x，x∈｛0，1，2，3｝，g（t）

变式：下面表格（见图4）与图像（见图5）中y关于x的函数与第③问的函数相同吗？

通过这个例题与变式让学生再次回到函数的定义里，理解函数的本质不是变量的名称，不是函数解析式，也不是函数的表示方法，而是定义域、对应法则和由此被确定的值域。

图5 图像法函数表达

图4 列表法函数表达

最后，再次将“定义域的求法”纳入到教学设计中。定义域是确定函数的两要素之一，没有明确定义域就无法确定函数。所以可将定义域的求法作为一条副线：在实际例子要考虑符合背景的限制条件，例题中的函数定义域则要让表达式有意义。这样既帮助学生巩固了定义域的求法，达到知识点的全面覆盖，又不增加教学内容，能在课堂40分钟内实现本节课的教学目标。

四、“合”——赛后反思的去取从来

通过这节课的备课，笔者不断充实自己的数学学科知识，不仅仅在广度和数量上，更在深度和质量上对“函数”这一概念进行学习，增强对数学知识产生过程的认识、体会数学研究者面对问题的探究、思考方式的特点。［3］（P81～83）通过两次的试讲和平日的交谈，笔者也增进了对学生的理解。“知道不同年龄和背景的学生在学习那些最经常教授的课题时已具有的日常概念和先入之见。这些日常概念和先入之见会使具体内容的学习变得容易或困难。”［4］（P4～14）通过实际课堂中的互动，不断反思与调整，将数学学科知识、一般教学知识与在不同情境下的教学活动设计相互嵌套，得以设计并实践《函数的概念》这节课，并由此建构起属于自身的数学学科教学知识（PCK）。

然而依然存在不足。这节概念课固然是高效率、有意义的，大部分学生上完课后对“函数”的理解会有一个新的高度。但是，我们为比赛作了大量的准备：两次试讲、组室多次磨课研讨使笔者对这节课典型的生成性问题了然于心，并预备了应对策略，这使得第三次上课时遇到的思维碰撞比第二次少，预备过度反而导致学生学习的意向性不足，整节课略显“按部就班”，竟没有第二次试讲那么出彩了。

公开课、比赛课是青年教师教学能力进步的重要平台。如何使预备充分但不过度，如何让设计充实但不封闭，如何使“教学设计脱去僵硬的外衣显露出生机”［5］（P3～8）将是我们继续寻找的境界。

［1］ 黄毅英，许世红.数学教学内容知识——结构特征与研发举例［J］.数学教育学报.2009，（1）.

［2］ Shulman，L.S—Knowledge and Teaching：Foundations of the New Reform［J］.Harvard Educational Review，1987，（1）.

［3］ 顿继安.数学课堂中教与学“擦身而过”的现象研究——兼谈PCK的利与弊［J］.数学教育学报.2013，（2）.

［4］ Shulman，L.S Those Who Understand：Knowledge Growth in Teaching［J］.Educational Researcher，1986，（2）.

［5］ 叶澜.让课堂焕发出生命活力［J］.教育研究，1997，（9）.