N维球体体积的麦克斯韦分布率推导

☉湖北省武汉二中高三1班 叶 千

N维球体体积的麦克斯韦分布率推导

☉湖北省武汉二中高三1班 叶 千

麦克斯韦分布率是热平衡状态下的速度分布函数，本文从速度空间及概率的角度给出一种较为简明的数学推导.

其由无数个体元构成，其体元形式为vx～vx+dvx；vy～vy+dvy；vz～vz+dvz，于热平衡状态下其概率表达式Fm（v）dv= Fm（vx，vy，vz）dvxdvydvz.

Fm（v）=Fm（vx，vy，vz）为麦克斯韦分布函数.

麦克斯韦假设Ⅰ 热平衡状态下速度分布函数彼此独立.

Fm（vx，vy，vz）dvxdvydvz=Fm（vx）dvx·Fm（vy）dvy·Fm（vz）dvz，Fm（vx，vy，vz）=Fm（vx）·Fm（vy）·Fm（vz）（1）.

麦克斯韦假设Ⅱ 热平衡状态下各向同性.

即Fm（vi），i=x、y、z是相同的分布函数，可称为麦克斯韦分布，引入v～v+dv间的球壳，概率关系式有：

Fm（vx，vy，vz）4πv2·dv=fm（v）dv，fm（v）=4πv2·Fm（vx，vy，vz） （2）.

对（1）式取对数，lnFm（vx，vy，vz）=lnFm（vx）+lnFm（vy）+ lnFm（vz）=lnFm（v）.

（3）式即为麦克斯韦分布率，我们通常利用其去研究推导某些物理量的统计平均.

本文通过对麦克斯韦分布率的推导发现它还可过渡到数学的N维空间研究中，我们由此巧妙地推导出N维球体的面积及体积公式.

二维中S2（R）=2πR，V2（R）=πR2；

不妨设SN（R）=αN·RN-1.全空间概率积分为1.

此处将R改为了V，因为是速度空间将N改为N+2，同样成立，有

分两种情况求αN.

回归SN（R）、VN（R），知：

由上述推导，我们获得了N维球体的面积及体积公式，本文对我们学习研究N维空间给出了一种新思路.

1.赵凯华，罗蔚茵.热学［M］.北京：高等教育出版社，1998.

2.马文蔚，周雨青.物理学教程［M］.北京：高等教育出版社，1999.A