在数学教学中培养学生的几何直观能力

许瑜

在小学数学教学中，教师应培养学生几何直观的能力，有助于提高学生的解决问题能力。让学生画画简单的示意图，可以直观形象地发现解决问题的策略，也能很直观地发现解题的错误，进行修正与提高。借助几何直观图推理，有利于培养学生的直观推理能力。学生在探究的过程中积极主动地获取了知识，培养了自主探究的能力，发展了解决问题的能力。

数学家克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握”。[1]蒋文蔚先生指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。我们认为直观要体现两点：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联。直观是一种直觉，是一种感知，一种有洞察力的定势。几何直观就是利用图形洞察问题本质的一种方式，有形象思维的特点，又有抽象思维的特点。[5]

《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》指出：“借助几何直观可以让复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”[4]

在小学数学教学中，教师应培养学生几何直观的能力，提高学生的解决问题能力。

一、化抽象为直观，发展表征概念的能力

在小学数学中，有许多数学知识都是随着几何意义的存在而存在的。在数学课堂教学中运用几何意义来阐释数学概念有利于学生在头脑中形成概念的表象，[6]促进对数学概念知识的理解和记忆，积累建构表象的经验，同时也可以利用表象迁移来解决数学问题，形成概念模式。

例如，在教学《倍的认识》时，由于“倍”的概念比较抽象，孩子们不易理解。因此，在教学时可以先呈现圆形2个，三角形6个，提示学生想一想并圈一圈，看看三角形里有圆形这样的几份？让学生试着圈一圈，学生圈一圈后，发现三角形有这样的3份，这样就可以引导学生观察直观的图发现三角形有3个2，就可以说三角形的个数是圆形个数的3倍，可以抽象出6是2的3倍。在学生尝试圈一圈后，教师有意识地出示学生的几种圈法。[9]

讓学生通过对比观察讨论一下，这几种圈法你有什么发现？通过出示错误的反例和正确圈法的对比，学生很直观地认识到第一种和第二种圈法是错的，不能随意地圈，要根据每份数即圆的个数来圈。这样通过直观的图让学生进行对比与思辨，初步认识了“一倍数”的概念，突出了概念的内涵。

然后，让学生拿出答题卡，根据答题卡上第一行圆片的个数，拿出圆片摆出第二行的圆片，第二行的圆片要是第一行的2倍。摆一摆后，学生间交流讨论自己的方法，如果第一行是4个圆片，第二行就要摆2个4即8个圆片。如果第一行是6个圆片，第二行就要摆2个6即12个圆片。由于学生答题卡上第一行的圆片数并不都是相同的，这样借助直观的看、摆、圈与说，为学生主动建构“倍”的概念，为“认识一个数的几倍是几”提供了几何直观的素材，加深了学生对“倍”意义的理解，化抽象为直观，发展了学生表征概念的能力。这样的数学教学，学生不但从观察操作中深刻体会了“倍”的意义，而且初步获得了利用图形直观描述数学知识的经验。

又如，一节关于有余数除法的教学，教师请同学们拿出准备好的12根小棒，然后请同学们用四根小棒，摆出正方形。然后教师提问：“你能摆出几个正方形，剩余几根小棒？”学生回答说：“可以摆3个正方形，没有剩下的小棒。”那我们怎么样用除法算式表示呢？教师根据学生的回答写出了除法算式：12÷4=3接着教师又让同学们用13根小棒来摆正方形，然后提问，这次你摆出了几个正方形，剩余几根小棒呢？学生回答这次能够摆出3个正方形，还剩下1根小棒。教师追问：这次摆正方形后，小棒有剩余吗？“有”。学生回答后，教师让学生观察讨论发现剩余的数我们就称为余数，这样列出的算式就是有余数的除法算式。让学生尝试写出算式：13÷4=3……1认识了余数。而后教师让学生再用14根、15根、16根小棒来摆正方形，借助直观操作运用小棒摆出正方形，使学生了解了余数的含义，并通过观察分析知道了如果余下的小棒数和除数一样大的话，就可以再摆出一个正方形，所以余数一定要比除数小，并学会了正确书写算式。在数与代数教学中我们可以让学生通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果和方向，把一些复杂的问题简单化，让学生借助几何操作在头脑中形成概念的表征。

二、将数译成形，发展描述问题的能力

按照双重编码理论，造成数学知识学习和记忆困难的主要原因在于数学学习材料（数学语言和符号）抽象性程度高，它不容易激起视觉映像。[6]因此，在数学教学中，应该重视训练学生的心理映像。即在形成知识的阶段，充分利用数学学习材料数与形统一的特点，引导学生将数学知识的抽象、概括性高的言语表征转化为直观表象表征，将数译成形，形成合理、科学的概念系统。

如，朱老师在执教《小数的意义》时，先让学生说说0.1表示什么？有学生说0.1表示十分之一，有的说0.1表示1角，有的认为0.1表示10份中的1份。然后朱老师出示了一张边长正好是10厘米的正方形，如果这张纸用数字“1”表示，这样的两张呢？十张呢？用2、10表示。让学生用语言描述0.1的含义，既提取了学生对0.1的已有认识，又为下面画图表示0.1做了必要的准备。接着让学生想：表示0.1的大小一块，你估计一下大约有多大？先请学生比画一下，估一估。让后让学生拿出学具这样的边长为10厘米一张纸，分一分，涂一涂表示出0.1的大小。涂好后，展示了几个学生的作品。[8]

从学生的作品来看，学生的思维可以分为三种不同水平层次：第一层次的学生（如图1）只知道0.1比1小，在正方形纸上随意涂出一小块，没有把正方形的纸进行平均分。第二层次的学生（如图2、图3）除了知道0.1比1小，还有小数与分数相联系的意识，知道要把正方形的纸平均分后，涂出其中的一份，但问题是他们不知道该平均分成几份。第三层次的学生知道0.1表示的是十份中的一份，因此他们把正方形的纸平均分成十份后涂出了其中的一份。在教学时，朱老师先呈现较低水平学生的作品，再逐步呈现较高水平学生操作的作品，丰富学生反省抽象的过程，尊重学生不同层次的认知水平。在学生的对比交流中，让大部分学生很清楚地借助图式，用语言描述所画图的含义。通过借助图的分与涂将学生对小数意义的理解物化，通过观察图与对比、归纳让学生将关于小数的知识逐步内化。在学生掌握了0.1的意义后，朱老师让学生在百格图上自己创造一个小数并说说它的意义。引导学生借助一个被平均分成100份的正方形，涂色表示出其他的“零点几”，并由此归纳出小数的含义，这样既帮助学生进一步理解了小数的意义，又有利于学生积累更丰富的用图形表征数学概念的经验，发展了学生的几何直观能力。

三、加强直观推理，发展分析问题的能力

心理学家皮亚杰根据儿童的认知理论将儿童化为四个阶段，而小学阶段的孩子正处于具体运算水平阶段。[6]此时的孩子很难理解数学中复杂的数量关系，我们可以借助几何直观推理，使复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。

直观推理是数学直观的精髓，是一种渗透力极强的思维形式。加强几何直观教学并不是只要求学生会画出示意图或线段图，能感知问题的表象就可以了。因为画图有时只是一种技巧的显现，个别儿童借助训练也能画出直观示意图，但并不会应用直观的图像来分析问题。由于学生缺乏对问题整体的把握，只注重数学对象的局部元素，造成分析数学问题的能力比较薄弱，因此在教学中要让学生先主动思考，从问题的题目出发，寻求可行性的画图策略，让学生运用直观推理手段进行分析、比较、想象和归纳，诱导学生主动发现数学对象的结构和关系，自觉主动地探究出问题的解决策略，发展自己分析问题的能力。

例如1：在人教版小学数学第一册教材“11—20各数的认识单元中的解决问题”例题6出示小丽排第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有几个人？在教学这道题时，建议学生采用画示意图的方法，（如下图）来分析解决问题。

对于一年级孩子来说，这样的画图处理方式，让学生清晰明了地看到他们之间有4个人，学生很快弄清了关系，并通过不断地画图实验发现：要求中间有几个人，只要把最后一个的序号数减开始的序号数就行了，通过课后调查，学生通过几何直观的形式，可以独立解决问题，准确率在90%以上。

例如2：四年级的数学广角，像这样的问题如：一根木头要锯成4段，要锯几次？也需要我们采用几何直观的方式——画线段图。通过线段图的分析，学生很容易掌握发现要锯成n（n>1）段，只要锯n-1次，而不是n次。

例3：在教学北师大版一年级下册《解决问题》时，先出示例题：松鼠弟弟摘了7个松果，松鼠哥哥比弟弟多摘了4个松果，他们一共摘了几个松果？由于一年级的孩子思维大多以形象思维为主，抽象思维能力较差，在教学中教师并没有直接指导学生可以画图帮忙，而是通过富有启发性的问题使学生体会到“光看文字，很容易列出7+4=11（个）这样错误式子”，进而诱发学生可以尝试用圆等图形代表松果画画图，引起学生学习和探索利用直观图形来分析解决问题，对于画图方法的指导，教师采用“尝试——讲评——完善”的教学策略：先放手让学生尝试画图，再结合讲评对关键步骤进行适当的指导，帮助学生可以分两行来画：第一行先画7个圆代表弟弟摘了7个松果，第二行也可以先畫7个松果表示和弟弟同样多的部分，然后发现哥哥比弟弟多4个，所以要再画4个圆。从图中就能发现刚才个别学生的算式7+4=11（个）只是求出了哥哥摘了11个，所以这样的问题一步不能解决，还要再把哥哥的11个松果和弟弟摘的7个松果合起来，一共是摘了18个松果。再列第二步算式：11+7=18（个）教师尝试引导学生学着画图后，让学生感受到“看图思考问题比较方便直观”，进而启发学生看图进行分析和比较，将题目中的相关数量与直观圆形图的意义对应起来，找到正确的解题思路，体会到画画简单的示意图可以直观形象地发现解决问题的策略，也能很直观地发现解题的错误，进行修正与提高。借助圆形几何直观图的推理，培养了学生的直观推理能力，让学生在直观推理中，学会分析问题、解决问题。

几何直观作为贯穿小学数学教学课程的线索之一，在小学数学教学中起着重要作用。从数与代数到解决问题以及综合与实践中的应用，还有概率与统计中也都有几何直观的应用，图形与几何就更离不开几何直观。[4]可见，加强直观推理，发展学生分析问题的能力在小学数学教学中是必不可少的。

四、利用直观探究，发展解决问题的能力

小学阶段儿童的思维发展是呈螺旋式的，低年级的儿童在解决问题上往往需要直观教具的引导与辅助，要借助实物的观察才能从直观中抽象出概念的本质或发现解决问题的一般步骤，而中、高年级的学生在解决稍复杂的问题时往往也需要借助直观操作与探究。利用直观的教具演示或尝试让学生画一画线段图、示意图等直观的教学方式贴近了学生的最近发展区，为学生解决问题引领思路并预测结果，让学生愿意猜想、判断，诱发学生积极主动地开始进一步的深入探究，并最终解决问题。[6]

例如，特级教师钱守旺在教学《长方形和正方形面积的计算》时，先出示了桂林山水的三幅长方形图（三幅图的面积分别是6平方分米、12平方分米、20平方分米），先让学生估计它们的面积，在借助图背后的边长是1平方分米的小方格图，数出它们的实际面积。让学生大胆猜测面积的变化可能和长方形的什么有关系？有学生猜与周长有关，有学生猜与长有关，有学生猜与宽有关。然后钱老师结合课件演示启发学生思考：长方形宽不变，长变化，面积怎么变化？长方形长不变，宽变化，面积怎么变化？长方形长和宽都发生变化，面积怎么变化？引导猜测出长方形的面积和它的长和宽有关系。有什么关系呢？教师让学生填写刚才三幅长方形图的长与宽和面积，让学生观察发现用长方形的长乘宽正好等于它的面积。然后钱老师不急于肯定学生的猜测，而是让学生任取几个边长为1厘米的小正方形拼成不同的长方形，并填表，运用直观的几何学具进行进一步的探究验证。[7]让学生在直观探究中发现长是几厘米，就沿着长边可以摆几个面积是1平方厘米的小正方形，宽是几厘米，就可以摆这样的几行。借助拼摆好的图形学生理解了长乘宽实际上表示的是长方形中所包含的面积单位的个数，由此突破了教学的难点。

公式是刻板的，而公式的再创造过程是鲜活、生动有趣的。在拼摆图形直观探究发现的过程中，学生多种感官参与学习活动，学生最大限度地利用直观的面积是1平方厘米的小正方形学具进行操作，并在操作中观察、思考、探究，学生亲历了“做数学”的过程。[7]

几何直观作为有效的表达工具始终伴随着学生探究面积公式的过程，并启迪着学生的空间思维，使学生的思维更加完善，发展了学生解决问题的能力，学生在直观探究中掌握了公式，并在探究中学会了用公式来解决生活中的面积问题。

又如，探究三角形的内角和是多少时？可以让学生先猜想三角形的内角和是多少。再利用三角形的纸把角剪下来拼一拼发现三个角正好能拼成一个平角，验证了猜想。也可以把三角形的角利用折一折后拼在一起，也能组成一个平角。这样的教学活动充分应用学生的几何直观能力，让学生进行直观探究，有效地解决了三角形内角和是多少的问题。学生在探究的过程中进行了猜想、验证、思考、操作、交流与反思，积极主动地获取了知识，培养了自主探究的能力，发展了解决问题的能力，从而把枯燥的知识演绎得生动而充满灵气。

综上所述，我们发现培养学生的几何直观能力需要：引导学生学会观察，化抽象为直观，强调数形结合，加强直观推理与探究；构造模型，培养学生运用直观分析推理解决实际数学问题。充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也是学生学会数学的一种思考方式和学习方式。

注释：

[1]克莱因.古今数学思想[M].第四册.上海：上海科技出版社，1979.

[2]蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学研究中的作用[J].数学教育学报.1997（4）.

[3]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报，2000（5）.

[4]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（2011版）[M].人民教育出版社，2011.

[5]曹培英.跨越短层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之四——几何直观（上）[J].小学数学教师.2013（6）

[6]严玉秋.在小学数学教学中如何培养学生的几何直观能力[J].数学学习与研究.2013（04）.

[7] 周成平.新课程名师精彩课堂实录[M].中国科学技术出版社，2005.

[8] 徐斌，钟建林.小学数学名师名课成名篇[M].教育科学出版社，2011.

[9] 夏青峰，郑美玲.小学数学名师名课珍珠篇[M].教育科学出版社，2011.