牵住课堂教学的“牛鼻子”——以“平方差公式”教学目标的叙写为例

☉江苏省无锡市蠡园中学 周进荣

☉江苏省无锡市梅梁中学 储东花

牵住课堂教学的“牛鼻子”
——以“平方差公式”教学目标的叙写为例

☉江苏省无锡市蠡园中学 周进荣

☉江苏省无锡市梅梁中学 储东花

俗话说：“要牵住倔强的老牛就要牵住牛鼻子”.说明任何一件事抓住问题的关键很重要.教学目标就是教学的方向，一个合理、清晰、具体的教学目标是教师对教材深入分析和理解的体现，也是对课堂教学和教学设计的把握和预设.教学目标就像“牛鼻子”一样，只有抓住它才能上好课.

一、目标的制定要源于课程标准

课程标准规定了国家对不同阶段的学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的基本要求，规定了各门课程的性质、各学科应达到的标准及内容框架.另外，对教材编写、教学要求、教学建议、教学评价等也都作出相应的规定和要求.因此，教学目标的准确定位必须来源于数学课程标准.在确定一节课的教学目标时，首先要认真研读义务教育《数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》），明确《课程标准》对本节教学内容的具体要求.如“平方差公式”在《课程标准》中的叙述是：“能推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；（a±b）2= a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算（参见例51）.”

二、目标的制定依赖于对教材的理解

章建跃先生提出数学教学有“三个理解”，其中，理解数学是理解学生、理解教学的基础.虽然数学教材是统一的，但每个人对教材的理解是不同的，因理解深度不同而制定的教学目标也会有偏差.要把目标制定得更合理、更贴切，就需要教师对教材有更深入、更透彻、更全面的解读.下面以“平方差公式”一课为例.

1.“平方差公式”的“地位”与“作用”

“平方差公式”是继“单项式乘以单项式”、“单项式乘以多项式”和“多项式乘以多项式”之后的第一个乘法公式，其“本来面目”就是“多项式乘以多项式”的一个特例.将这样的一个“特例”作为“公式”，主要是基于三方面的考虑：第一，简便整式的乘法运算；第二，为后续的学习奠定基础，如对于学习“用公式法分解因式”、“分式的运算与化简”、“解一元二次方程”等提供必要的知识储备；第三，本公式的探究过程与方法，对后面将要学的“完全平方公式”，从方法上起到了一定的借鉴作用.

2.“平方差公式”的三种表达形式

从“平方差公式”所包含的内容来看，用文字形式表达，是“两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差”，抽象为数学符号可以概括成（a+b）（a-b）= a2-b2，同时，我们还可以借助图形的剪拼直观感知公式的正确性.如图1中矩形的面积为（a+b）（a-b），图2中阴影部分的面积为a2-b2，由图形的割补可知，图1的面积等于图2中阴影部分的面积，即（a+b）（a-b）=a2-b2.可见，“文字叙述”、“数学公式”、“图形直观”这三种表示形式都是对“平方差公式”的一个“真实”的刻画.

图1

图2

3.“平方差公式”蕴含的数学思想方法

（1）“特殊化”的思想方法.我们探究数学问题，在研究一般情形时，往往要对某些“特例”进行较为深入的研究.比如对于“几何图形”，我们在研究了一般三角形的基础上，重点研究了“等腰三角形”，在研究一般的四边形的基础上，深入研究了“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”等特殊的四边形，这主要是由于这样的一些特殊的三角形、四边形，在数学知识内部或实际问题中有着更加广泛的应用.因此，建立在“多项式乘以多项式”基础之上的“平方差公式”，承载的就不仅仅是一个数学公式本身，它反映了从“一般”到“特殊”的研究数学问题的基本策略.

（2）“归纳”的思想方法.这种方法在解决数学问题中，更是随处可见，比如，对于整式加法法则、整式乘法法则的获得，对于一次函数、反比例函数性质的获得，对于概率的统计定义中的“用频率估计概率”的方法等.那么对于“平方差公式”，我们同样是通过观察一系列具有某种结构特征的“多项式乘以多项式”的结果，“归纳”出符合这种“结构特征”的共同“规律”，这就是平方差公式，其中的a、b可以代表任何“数字”、“字母”、“式子”，或者你喜欢的任何其他的“事物”.

三、目标的制定要基于学生的基础

目标的制定要考虑学生原有的知识基础.虽然我们使用的教材、教师用书相同，但各个地方的学生存在着差异，这就需要考虑学生的学习基础，教学目标不能过高，也不能过低.对于“平方差公式”，学生的认知基础是“多项式乘以多项式”，学生从小学开始就进行了“找规律”的训练，具备一定的猜想能力.因此，可以先复习上一节课的“多项式相乘的运算法则”，再出示几道计算题，让学生在“做”数学中猜想、寻找规律.操作时，需要根据学生的层次性，进行差异性设计：

对于基础较好的班级，设置下列三个“多项式相乘”问题：（1）（a+b）（c+d）；（2）（m+3）（m-3）；（3）（2x+1）（2x-1），其中含有一个一般形式、两个特殊形式，让学生计算后，教师提问：①你能直接写出（a+2）（a-2）的结果吗？②以上三个式子的计算结果对你有新的启发吗？

对于基础薄弱的班级，问题可作如下设计：

问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x-1）；（2）（m+3）（m-3）；（3）（2x+1）（2x-1）.

问题2：依照以上三道题的计算回答下列问题：

（1）式子的左边具有什么共同特征？

（2）它们的结果有什么特征？

（3）能不能用字母表示你的发现？

根据“最近发展区”理论，在学生已掌握多项式乘法法则的基础上，探索具有特殊形式的多项式乘法，既复习了旧知，又为下面学习平方差公式做了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律.前一种设计面向基础较好的学生，他们的接受能力较强，在问题设计时含有一个一般形式，让学生从一般形式和特殊形式中辨析，其规律有点隐蔽，教师放手让学生去观察、去发现、去猜想、去验证，将学生的思维自然地导向了“结构特征”，引出平方差公式，同时也揭示了“平方差公式”与“一般多项式乘法”之间的内在联系，使“平方差公式”的生成非常的自然、顺畅；第二种设计面向基础薄弱的学生，设计了指向性更强的两个问题，通过教师的提问，启发学生思考、引导学生总结，也能发现平方差公式.由此可见，学生的基础不同，目标的定位及设计也有差别.

四、目标的制定体现在目标分解上

华东师范大学崔允□教授曾指出：“有了国家课程标准之后，教学的目标要说明的是‘为什么教’、‘教到什么程度’、‘教学生如何学’、‘学生学什么’的问题，教师需要深刻理解课程标准，把握对学生的总体期望，将课程标准具体化为每一堂课的教学目标，并据此来确定教学内容，选择教学活动方式”.但从课程标准到课时目标，中间存在一段较大的距离，必须经过多重转换：课程标准（一个学段结束后要达到的结果）—学年/学期目标—单元目标—课时目标.教师必须基于课程标准、教科书内容及学生的基础，对课程标准进行解构，形成课时目标，这样的解析过程简称为目标叙写，下面以“平方差公式”为例，谈谈目标如何叙写：

1.《课程标准（2011年版）》要求

能推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算.

2.目标解析

A.了解：①学生能写出平方差公式.②认识平方差公式的几何表达，了解公式的几何背景.

B.理解：①会推导公式，表述公式的结构特征，发展符号感和推理能力、归纳能力，体会从一般到特殊的思想，体会数形结合的思想，体会平方差公式的简洁美.②从具体式子中，会正确辨析公式中的a与b，正确运用平方差公式计算.

C.掌握：①能正确运用公式直接进行运算.②能进行平方差公式与加法、乘法的混合运算.③能多次应用平方差公式计算.

3.评价试题（以C级目标为例）

试题1：（C①）计算：102×98.

试题2：（C②）计算：（1）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）；

（2）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（3-2x）.

试题3：（C③）应用公式进行计算：（1）（a+3）（a-3）·（a2+9）；（2）（2x-1）（4x2+1）（2x+1）.

教学目标的叙写是整个教学系统中的一个重要环节，其目的是使教师更好地把握教学目标，使学生更好地理解学习目标，发挥教学目标应有的功能.很多教师受过去使用的《教学大纲》、《教师教学用书》的影响，在叙写教学目标时，常常存在以下几种问题：（1）目标模糊、笼统、抽象、不可测；（2）目标单一性、非全面性；（3）目标的主体错位；（4）目标确定的经验性；（5）目标定位的非恰当性等，这些问题使得教学目标形同虚设.要使叙写的教学目标情晰、具体、操作性强，关键要抓住叙写的中心，即学习后学生的行为，并选择不同的行为动词进行表述.上述案例中的教学目标叙写与传统的教学目标至少有以下几个不同点：

（1）目标叙写从知识、技能、情感三类进行描述.根据布卢姆的分类系统，通常将教学目标分为知识、技能、情感三大类，而《课程标准》以课程目标的形式提出了四个方面的数学课程目标，即“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”，根据《基础教育课程改革纲要》对目标的三维提法：“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”，我们在教学中具体描述教学目标时，常常把这四个方面的教学目标按三类描述，即知识与技能目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标.这样就形成了数学新课程的“三个维度、四个领域”教学目标，简称为“三维四领域”教学目标，以此来表述课堂教学中师生通过教学活动应达到的预期目标.

（2）传统的教学目标是“以师为本”，强调的只是“教师做什么”，教师要求学生达到什么结果.而在上述教学目标的叙写中“以生为本”，突出学生的主体地位，站在学生的角度，阐明学生通过怎样的学习活动，在行为上有什么变化.如：教学目标A①——“学生能写出平方差公式”，有时“学生”可以省略，但默认的主体仍是学生.

（3）传统的教学目标是采用描述内部心理的词语来陈述，站在教师的角度，要求学生“了解……”、“理解……”、“掌握……”，什么叫了解、到什么程度才算理解，不清楚，也无法观察和测量.而在上述案例的教学目标叙写中，采用条目形式，从“了解”、“理解”、“掌握”三个层次进行解析，分别说明学生学会做什么、做到什么程度等，让教师对教学中通过“教什么”、“教到什么程度”使得学生“学什么”、“学到什么程度”做到心中有数，知道什么是低于教学目标要求，什么是高于教学目标要求，什么是恰好达到教学目标要求，因而，教师就能迅速、准确地把握教学要求.

（4）教学目标设定陈述学生学习后的变化情况，并且可以观察、测量这种变化.即它必须明确、具体，可以检测.每个教学目标都要有相应的目标评价试题，而且评价设计是先与教学设计的.如：C级教学目标就配以对应的目标评价试题，用以测量学生学习后的变化，便于教师及时调整自己的教学.

总之，教学目标是教学的出发点和落脚点，是课堂教学的“牛鼻子”.教师只有正确理解和把握教学目标，明确每一堂课“为什么教”、“教什么”、“怎么教”、“教到什么程度”，学生“学什么”、“学到什么程度”，我们的备课才能有的放矢，教学才能游刃有余，才能真正实现课堂的高效和有效！H