三角形内角和教学设计的新视角

张坤 张昆

（①淮北师范大学数学科学学院；②安徽省阜南县新村镇天棚中学）

三角形内角和教学设计的新视角

张坤①②张昆①

（①淮北师范大学数学科学学院；②安徽省阜南县新村镇天棚中学）

一、 教学设计背景

沪科版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十三章第一节的内容提到：在小学，我们曾用折叠、剪拼或用量角器度量的方法研究过三角形的内角和，并得到其为180°，第二节证明了三角形的内角和等于180°，在课本中是直接利用平行线的性质通过平移角的方法来证明的.对初中生来说添加辅助线是很难的，因为这是他们第一次通过添加辅助线来证明题目.为了不让初中生对添加辅助线产生畏惧，教师一定要引导、设计好这一课例，笔者在反复思考、分析学生心理活动环节与研究教材的基础上对这节课的教学进行了尝试性探究，在教学实践中进行了如下设计.

二、 教学设计过程

1.出具实物，提示学生回忆

师：在小学里同学们通过折叠、剪拼、对开、分割或度量等方式，已经从经验观察中知道了三角形的内角和为180°，大家看老师手中的三角板（如图1），你知道它的每一个角都是多少度吗？

图1

图2

图3

生1：一个为30°，一个为60°，一个为90°，它们的和为180°.

师：很好！这是一个特殊的直角三角形，如果是一个一般的直角三角形（如图2），这个三角形的内角和是否依然为180°呢？

生2：在这个三角形中我们已经知道∠C=90°，只需要再证明∠A+∠B=90°就可以了.但是，……

生3：我们所学过的知识中只有垂直才能得到90°，我想在直角△ABC上作个垂线进行试探.

师：很好！作垂线其实就是我们中学教学中所讲的添加辅助线.辅助线的添加有很多不同的方法，下面就请同学们讨论一下如何作这条垂线呢？

2.课例讨论

生4：我作的垂线如图3所示，在AB上任意取一点D，过D点作DE⊥AB，就得到∠EDB和∠EDA都是90°.

师：很好！生4成功得到两个90°的角，即∠EDB和∠EDA，但是，这两个直角与∠A和∠B有联系吗？很显然联系不上，我们不能用∠EDB和∠EDA两个直角中的任何一个，这种辅助线对我们解此题没有任何帮助，故此垂线的作法不可取，还有其他的方法吗？

图4

图5

图6

生5：我是这样作垂线的，如图4，在BC上任取一点D，过D点作DE⊥BC，交AB于E点，因为DE⊥BC，所以∠EDC=90°，又因为∠C=90°，所以∠C+∠EDC=180°，还可以得到ED∥AC，∠A=∠BED.

师：很好！生5虽然得到180°，达到我们的目标，但是与∠A和∠B联系不上，不能求出∠A+∠B=90°，这种作垂线的方法仍不可取.

生6：我的想法与生4一样作垂线，但这个垂线不能任意作，由生5的作法可知，我们既要作垂线得到垂直，又要利用垂直得到平行，把∠A+∠B=90°求出来（如图5）.过B点作BD⊥BC，得到∠DBC=∠C=90°，即∠DBC=∠DBA+∠ABC.

生7：由生5和生6的作法知∠DBC=∠C=90°，所以DB∥AC，所以∠A=∠DBA，所以∠DBC=∠ABC+∠A= 90°，即∠A+∠B=90°，所以得到∠A+∠B+∠C=180°.

师：很好！这几位同学利用我们以前所学过的有关垂直、平行的知识，尝试添加不同的辅助线，构造出垂直、平行，验证了直角三角形的内角和为180°.在初中利用添加辅助线的思想来证明题目是今后同学们经常用到的，怎样合理有效地添加辅助线就成为我们今后解题的关键.

生8：这种利用垂线证明直角三角形内角和为180°的方法是否可以推广运用到一般三角形中呢？

师：生8提出的问题很好，我们是否可以把这种证明方法从特殊的直角三角形推广到一般三角形呢？

生9：我想是可以的，受生6和生7添辅助线的启发，我先把任意三角形分为锐角三角形和钝角三角形，我添加两条垂线（如图6，三角形为锐角三角形）.过A点作AD⊥BC，交BC于点D，过C点作EC⊥BC，因为AD⊥BC，EC⊥BC，由平行线判定定理可得AD∥EC，所以∠1=∠2，又因为∠2+∠ACD=90°，所以∠1+∠ACD=90°，在直角△ABD中，我们在前面已经证明∠3+∠B=90°，所以∠1+∠3+∠ACD+∠B=180°，又因为∠1+∠3=∠A，所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形为钝角三角形时，同样的证法如图7）.

图7

图8

图9

生10：太复杂了，我把生9的两条辅助线合为一条，把添加垂直辅助线变成直接添加平行线（如图8）.过A点作DE∥BC，所以∠1=∠B，∠2=∠C，所以∠1+∠2+∠BAC=180°，即∠A+∠B+∠C=180°.

师：非常好！生10的想法是最简单有效可行的方法，利用平行线把三角形的内角和等于180°证明出来了，这种想法回归到我们课本的证明方法.如图9，延长BC到点D，以点C为顶点，CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA，所以∠A=∠1，因为B、C、D在同一条直线上，所以∠1+∠2+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB= 180°.

师：同学们由上述内容可见，要想完成此定理的证明，关键在于辅助线的发现和添加.而我们在小学只是通过具体事例的学习，知道三角形内角和为定值，并通过撕拆拼图或度量验证了三角形内角和为180°，认识水平还未能达到运用平行线移角的想法来添加辅助线完成定理证明的高度，所以此定理证明的完成对我们来说难度不小，但它是我们自己在已有知识、经验的基础上，自主探究、自主总结得出的.这样的方法要想一蹴而就，必须长期坚持练习、思考、总结、归纳，才能达到顺利解决问题的目标.

3.如此教学设计的进一步思考

《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出：“第一，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探究与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.第二，教师教学应该以学生的认识发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教.第三，教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”.［1］因此，数学学习的过程不是由教师向学生进行知识的直接传递，而是在教师的辅助下，学生自己独立地探索知识的过程.

在本节课的设计中，笔者围绕着：为什么要添加辅助线？怎样添加辅助线？添加辅助线后，图形的性质发生了怎样的变化？图形变化产生新的性质对解决问题有哪些帮助这四个问题让学生展开讨论，有效地指导学生解决了三角形内角和问题，因此教师在平时教学中要勤于思考，要勤于发现，要开发好课堂，让学生亲身经历知识的发生、探索、获取的过程，培养学生的推理能力、论证能力、创新能力、发散思维能力.

笔者翻阅了北师大版、浙江教育版、人教版、鲁教版、青岛版、湘教版、冀教版、江苏科技版八个版本的教材，八个版本在证明三角形内角和为180°的定理时所运用的思想方法是一样的，都是由小学里的折纸、拼剪活动，或用量角器度量的方法谈起这个问题的，然后再拼接，通过拼接后留下的痕迹作平行线移角的方式来证明三角形内角和.而沪科版教材是通过作角，运用平行线的判定定理得到平行，然后再利用平行线移角.

不同版本的教材具体操作方法不同，但它们都有一个共同点，即通过添加辅助线得到平行，再利用平行线的性质移角来证明三角形内角和定理的，此定理的证明用添加平行线移角是最佳方法，其实它也是今后我们解决其他几何问题的常用方法之一.辅助线在几何证明中起着桥梁和化难为易的作用，合理恰当地添加辅助线，可以帮助学生扩展视野，开阔思路，把隐性条件明显化，也就是说，添加辅助线解决有关几何证明的问题，就像我们代数中设未知数一样，把未学过的、不会的问题转化为已经学过的、会的知识，这就是我们数学当中经常提到和用到的解决问题的思想方法——化归思想.

用什么方法能直观地、没有误差地让学生理解并接受：“三角形内角和是180°”这个定理，这就很自然地过渡到数学上的证明，证明是通过合情推理、论证、探索数学结论，运用演绎推理加以说明的过程.教师运用好课堂，启发学生自己动脑，动手去探索，这种体验式教学对学生来说具有一定的挑战性，肯定会遇到很多困难，教师一定要锻炼学生克服学习新知识所遇到困难的意志.学生之间也会存在差异，教师一定要尊重学生之间的差异，帮助学生分析、解决、探讨问题，然后通过比较和方法优化的过程提升学生的思维品质，当然学生完成问题后也会有一种说不出的愉悦感和满足感.这样也会激发学生学习的兴趣和参与学习的积极性，从而有效推动教学的开展.因此，学生在自主学习时也需要教师经常地进行启发、引导和及时地点拨.

学生在小学阶段的学习是靠感性认识解决问题，而到了初中，随着知识难度的提升和学生认知能力及知识拥有量的提高，学生的学习方式也要从原来的靠感性认识转化为理性的逻辑思维.因此教师要培养学生的逻辑思维能力、发散思维能力、空间想象能力及抽象思维能力，力求使学生能够主动探究知识，勇于质疑问难，最终掌握科学的方法解决学习中的问题.

我们由上述课例中众多同学的发言不难得出，新事物的产生往往成为学生思维过程中的障碍，正如弗赖登塔尔所说：“数学在其发展过程中，走过漫长而曲折的道路，它不断修正过自己的进程，避开过弯路，绕过死胡同，重新明确前进的方向.”［2］学生的思维过程也是如此，当学生思维受到阻碍，教师必须帮助寻找突破口，精心设计课堂活动，为学生的再发现、再创造搭建平台.根据皮亚杰的建构主义学观点，学生的学习是在已有知识经验基础上主动建构的过程，在建构的过程中一定会遇到困难，但只要能达到最终学习目标，教师都应及时指导、支持学生，并给予适当的帮助，让学生自己动手解决问题，因此，教师在教学过程中应给学生搭建自主探究的平台.

学生从图3一步步优化辅助线到图5是一个突破，是学生自己几乎出于一种本能完成这条辅助线的添加.由图6优化讨论到图8又是一个飞跃，达到了这节课的高潮.对于八年级上学期的学生来讲，他们刚刚接受过平面几何证明的学习，还不知道怎样去用数学语言与学过的定理、公理去证明题目，更不可能直接就添加出图8中的直线DE，学生之间必然有思考、讨论、探索、合作交流、判断与选择的过程，在此过程中要让学生体会数学思维的严谨性、缜密性、逻辑推理论证性，在问题的探索中，让学生自主探究，合作交流，感受分类讨论思想、整体探索思想、从特殊到一般思想，要让学生学会从直观感受中探寻数学规律.

作为教师要经常运用课堂教学来培养学生养成良好的数学思维习惯，为今后的数学学习奠定坚固的基石，所以教师在教学中要留出足够的空间，引领学生探索、论证，亲身体验知识产生的过程.数学教学其实就是让学生学会用数学的思维方式，去提高他们分析问题与解决问题的能力.很多时候教师可以把学生在生活中最感兴趣的问题转换成数学问题，把很多社会的热点问题和数学问题融合起来，从学生的天性出发，把数学思想附注在学生感兴趣的问题里，让学生去思考、讨论、交流，这样既达到了传授数学知识的目的，又能体现出数学在生活中处处存在，这才是我们教育的真正目的所在——教会学生如何去用数学思维分析、解决现实社会中遇到的问题.在学生的大脑里种下：学习数学并不是对我们的生活没有用，数学时刻在改变我们的生活这种想法，更能体现出数学思维对人类的影响.

学生的思维随着同学们的热烈讨论在层层递进，本例描摹了学生产生这条合适的辅助线的心理过程，影响这种心理过程递进缓慢的因素是他们已有知识的储备量还不够，产生新知识的能力还比较弱，正如奥苏贝尔所说：“影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么，根据此进行相应的教学.”［3］正是由于学生知识的浅薄，导致此辅助线不能很快速合理地添加.因此无论自主探究教学如何好，策略如何优化，教师的课堂设计都必须建立在学生已有知识水平的基础上，所以作为任课教师在设计课堂教学之前，必须真实有效地进行学情分析.

三、结束语

“教育是一份谨慎的工作，于编纂教材，于教学设计都应环顾他帮，博采众家之长，甚而谨小慎微.”［4］作为中学教师针对每一节课都应有一个适合自己学生的教学设计，每一个教学设计都尽量使学生学会用数学的思维来思考每一问题；用数学公理、定理来证明每一个结论；用数学语言来表述自己的观点，这就是数学教学所要追求的最高境界，也是数学课堂教学的本质要求.

数学教学所要传授的知识相对固定（其最低限度已经写入课程标准）.但是，通过何种方式来传授这种已经设定了的知识，却随着教师的教学理念不同，预设的教学目标不同，持有的教学观念不同，获得的教学经验不同，理解特定数学知识性质不同，揣摩发生特定知识的学生认知方式不同，估计发生知识时学生现场心理活动意向不同，存在多种选择余地.不同的教学设计对发挥数学知识的教育价值，促进学生素质发展的结果大相径庭、迥然有别.对此，我们数学教师在教学设计时要思之再思，慎之又慎！

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.［荷］弗赖登塔尔，著.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬，等，编译.上海：上海教育出版社，1995.

3.［美］奥苏贝尔.教育心理学——认识观点［M］.北京：人民教育出版社，1994.

4.赵兴珍，祁乐珍.关于“三角形内角和定理的证明”教学设计的调整与思考［J］.初中数学教与学，2013（4）.