挖掘知识本质，探索通性通法——对因式分解法解一元二次方程的思考

☉南京航空航天大学附属初级中学 叶智超

挖掘知识本质，探索通性通法
——对因式分解法解一元二次方程的思考

☉南京航空航天大学附属初级中学 叶智超

方程可谓是初中数学“数与代数”的核心内容，解方程又是其重要内容之一.它是刻画现实世界的一种重要模型，蕴含着化归和模型的思想.它们对学习和应用数学知识具有普遍价值.一元二次方程是方程中的一种重要模型，对一元二次方程的解法的研究，也是笔者一直思考的问题.

一、问题提出

笔者拜读了《数学通报》2011年第5期中的《对谈课堂教学中“逻辑链”与“思维链”的契合》及《中学数学教学参考》2012年第10期中的《因式分解的教育价值》两篇文章之后，受益匪浅.但是文1在问题2预设4中提出：“学生掌握分解因式法解方程的基础上，逼出‘配方法’.这是一个真切的问题情境，在分解因式法无效后，相信学生必欲解决而后快.为了克服含x的项无法合并的困难，通过配方，化归为‘开平方法’势所必然.教学中，要让学生体会到‘配方法’是在分解因式法无效后，‘技术革新’的产物.”文2中指出：“……而解一元二次方程时，配方法、公式法是通法，直接开平方法、因式分解法都是基本方法……”

笔者在市区教研活动中开设一节关于一元二次方程的解法的复习课后，有不少老师也提出类似的问题，认为因式分解法解一元二次方程只适用于一些特殊的方程，如可运用十字相乘法、提公因式、乘法公式的一元二次方程.基于此，笔者认为上面两文及一些老师的观点有值得商榷之处，谈点儿个人看法，不到之处还请各位同行批评指正.

根据笔者对各个版本教材中关于对一元二次方程解法课程内容设置的研究，各版本的教材基本都是按照直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的顺序编排.全篇分为两条主线.一是先以直接开平方法为主线贯穿配方法、公式法.首先让学生感知用直接开平方法解形如x2＝n（n≥0）的一元二次方程；再研究如何解x2-10x+ 16＝0，从而引出配方法，转化为用直接开平方法求解形如（x+m）2＝n（n≥0）的一元二次方程；最后将方程一般化，思考ax2+bx+c＝0（a≠0）的解法而得到公式法.配方法和公式法都是为了转化为可用直接开平方法解的一元二次方程，配方法和公式法是手段，目标是通过开平方达到降次的目的.二是再用因式分解法解一些一元二次方程.看似两条主线自成体系毫无联系，所以文1中重新编排授课顺序，试图找出这两条主线之间的联系，先讲授因式分解法，在因式分解法无效后，通过配方，化归为“开平方法”势所必然.很多老师过分关注了直接开平方法、配方法和公式法三者之间的关系，却忽视了因式分解法所蕴含的巨大价值.

以上两文中的观点未从知识本身出发，深入地研究、高位地理解数学和教材，解方程（组）的智慧价值未得到应有的彰显.欲要体现出本节课的思想价值，必须深刻理解解方程的本质，即转化思想.目标是将不熟悉的方程转化为熟悉的方程，最终转化为一元一次方程去解.解方程（组）的一般步骤主要为：复杂的、不熟悉的方程转化为整式方程（组）（包含多元方程（组）和高次方程两大类），再通过消元和降次转化为一元一次方程.而一元二次方程解法的核心思想必然是如何通过降次达到转化为一元一次方程的目的.降次的方法在教材中只有两种，分别是利用平方根的性质和因式分解.笔者认为直接开平方是降次的有效方法，可转化为两个一元一次方程，配方法和公式法由此衍生，那么因式分解法不也可以达到降次的目的吗？难道它只能解“一些特殊方程”吗？配方法和公式法能否由因式分解法去推导呢？若能，显然两文中的观点就值得商榷.为此，笔者做了如下设计.

二、教材整合

建构活动1：认识因式分解法解一元二次方程

（1）复习回顾二元一次方程组解法的核心思想和主要方法——转化、消元.

（2）若ab＝0，则a＝0或b＝0，这是因式分解法降次的知识基础.

问题1：x（x-2）＝0和（x+3）（x-2）＝0各是什么样的方程？你能尝试求出这两个方程的解吗？

问题2：借助上述两题的解决经验，你认为要解一元二次方程的核心思想是什么？

问题3：你认为要解一元二次方程的一般步骤是什么？

（3）尝试解下列3个方程：①x2-4x=0；②x2-4=0；③x2-4x+4=0.

设计意图：引导学生类比二元一次方程组的解法，进而得出一元二次方程的解法的一般步骤：（1）将一元二次方程右边化为0；（2）将一元二次方程左边因式分解化为两个一次式的积；（3）根据“若ab=0，则a=0或b=0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程去解.再通过3个实例进一步让学生体会因式分解法所蕴含的想想方法.

建构活动2：探索通过因式分解法推导一元二次方程的其他解法——配方法和公式法

配方法的推导如下所示.

（1）用因式分解法解方程：

①x2-4=0；②（x-2）2-16=0；③（x-5）2-3=0.

（2）①在上题的基础上，思考如何解方程：x2-4x+4-16=0和x2-10x+25-3=0.

②方程（x-3）2-16=0与x2-4x-12=0有什么关系？

③尝试将方程x2-4x-12=0转化为（x+m）2-n=0（n≥0）的形式.

设计意图：让学生初步感受通过配方后，再利用平方差公式化为两个一次式的积，从而解一元二次方程.

（3）想一想，如何用因式分解法解x2-4x-5=0呢？

解：方程左边配方，得x2-2·x·2+22-5-22=0.

即（x-2）2-9=0.

所以（x-2+3）（x-2-3）=0.

即（x+1）（x-5）=0.

所以x+1=0或x-5=0.

原方程的解是x1=-1，x2=5.

故配方法解一元二次方程自然不是在分解因式法无效后“技术革新”的产物.

（4）x2-4x+2=0和x2-6x-16=0你还会解吗？

（5）解方程：x2-2x+2=0.

解：方程左边配方，得x2-2·x·1+12+2-12=0.

即（x-1）2+1=0.

由（x-1）2≥0，得（x-1）2+1＞0.

则x2-2x+2=0无解.

显然不是所有的一元二次方程都是有解的，那么一元二次方程满足什么条件才会有解呢？我们继续往下探索.

公式法的推导如下所示.

你能解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？

当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，并且方程的解与每项的系数有关，可以直接通过x1=根.

三、结束语

笔者始终在因式分解法这个大前提下，产生解一元二次方程的配方法、求根公式法.即将因式分解法作为解一元二次方程的通性通法，从另一个视角一线穿成了整个一元二次方程的三种重要解法.继续拓展，可让学生进一步认识到：解高次方程，就是要通过因式分解法，将高次方程降为低次方程（降次）来解（与解多元方程组需消元遥相呼应），此时再让学生解方程（x-2）（x+3）（x-5）=0或让学生探索不等式（组）的解法就不是什么难事了.因式分解法也是解一元二次方程的通性通法，只不过教材中只是用开平方法这条主线去编写而已.运用上述思想方法，去整体把握方向，去整体构造解法，让学生寻求解方程（组）、解不等式（组）的路径和方法，使学生终生受益！

只有我们在教学中，高位理解数学、理解数学教学，高度把握数学本质，学生的数学思维才可能在理性中得到张扬.

1.连春兴、魏韧.对谈课堂教学中“逻辑链”与“思维链”的契合［J］.数学通报，2011（5）.

2.三石.因式分解的教育价值——扬州卷第19题（2）［J］.中学数学教学参考（中），2012（10）.

3.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

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