中、新两国初中数学习题综合难度比较研究——以人教版、新加坡教材中“三角形有关的角”为例

☉甘肃省酒泉市第四中学 徐玉庆

中、新两国初中数学习题综合难度比较研究
——以人教版、新加坡教材中“三角形有关的角”为例

☉甘肃省酒泉市第四中学 徐玉庆

一、引言

目前国内在综合难度模型方面的研究还不是很多，尤其是将综合难度模型应用在国际比较教育方面还不常见，比较典型的有学者鲍建生、史宁中等对初中数学教材难度进行了定量分析，建立了课程难度模型；贾随军在鲍建生、史宁中建立的“探究、背景、运算、推理和知识含量五个因素的基础上”进行了微调，同时对中国与美国初中数学教材中“三角形有关的角”中的习题进行了难度模型比较.本文将在贾随军教授的基础上，对中国、新加坡两国初中数学教材中的“三角形的有关角”的习题进行难度模型比较.首先，统计各因素上每个水平层次中的习题的题量及百分比；其次，根据等级权重利用下面的公式计算中、新教材在每个因素上的加权平均（i=1、2、3、4、5）分别为“认知”“背景”“运算”“推理”“知识含量”五个难度因素上的取值；dij为第i个难度因素的第j个水平权重（水平分别取1、2、3、…）；nij则表示这组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的题目的个数，其总和等于该组题目的总数n.根据分析和计算我们得到表2所示的分析数据.

二、样本选取

在考虑到购买教材的便利性的基础上，选取了人教版教材、New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal（Academic）Singapore来进行比较研究.

表1 ：样本教材及习题总数

本文中的习题包含中国教材“三角形的有关角”中的“合作探究”“练习”“复习巩固”“综合应用”“拓广探索”等；新加坡教材“三角形有关的角”中的“例题（Example）”“练习（Exercise 6C、6D）”.从表1中统计的习题数量上可以看出，人教社教材和新加坡教材中的习题数量基本一样.

三、综合难度模型

表2 ：两国数学教材习题综合难度数据分析

1.数学认知因素水平的差异性

两种教材在“理解”因素上差异性不是很大，“运用”因素水平的习题数据表明，人教社教材比新加坡教材高出约5个百分点；对于“分析”因素水平的习题，人教社教材比新加坡教材低了2个百分点.

人教社教材对于习题的处理更加“整体化”“综合化”，如图1（教材第82页）所示，直接给出所有的条件，计算∠BAC的度数，所以学生在解决问题的过程中就要将问题“碎片化”，从而建立解题策略，“分析”水平相对较高，新加坡教材的“分析”水平相对也很高（如图2，教材第189页），但是新加坡教材也有自己的特点，对于题目的处理也具有“低起点”“碎片化”的特点.

图1

图2

2.背景因素的水平的差异性

人教社教材比新加坡教材高约12个百分点.在统计的过程中，我们发现新加坡教材没有一道题目有背景，全部习题都是纯粹的数值和符号运算.

3.运算因素的水平比较

在运算水平上，两个国家的分析走势基本上相同，两种教材的主要运算形式是“数值运算”，“无运算”习题的比例都很低.而在“简单符号运算”中，新加坡教材比人教社教材高约17个百分点.

4.推理因素的水平的差异性

两种教材中“无推理”因素水平的习题所占比例并没有明显的差异，人教社教材中没有无推理的题目；属于“简单推理”水平的习题相差也不是很大，从统计中发现，同属亚洲的人教社教材和新加坡教材对于习题的推理要求都很高，我们发现，人教社教材对习题的推理水平是两种教材中较高的.

5.综合知识因素的水平的差异性

对于“1个知识点”和“2个知识点”，两种教材的要求基本一致，但是，对于“3个及以上知识点”习题的要求不同，人教社教材比新加坡教材高出近9个百分点.

6.综合难度的比较

前面我们已经通过五个难度因素对三种教材进行了详细比较，在此基础上我们将利用综合难度模型综合难度值.通过对表2中加权平均值的统计，得到下面的雷达图（如图3）.

图3 ：两种教材的综合难度模型

如图3所示，在认知水平方面，人教社教材和新加坡教材基本一致；在背景方面，人教社教材含背景的习题比新加坡教材的要多，而且从图中发现两个五边形在背景方面都有向内倾的趋势，说明在教材习题的设计上关于实际背景的题目偏少；在运算水平方面，新加坡教材相对较高；在推理方面，人教社教材较高；在知识含量方面，人教社教材基本上每个题目都包含2个知识点，3个及以上的知识点的习题数量也是远高于新加坡教材的.

四、启示

首先，中国和新加坡教材对学生的综合推理能力要求都较高.新加坡教材处理习题更加注重层次化、碎片化，即将一个综合问题分解成若干小问题，这和目前国内通用的导学案有相同之处，意在引导学生独立解决问题.人教社教材更注重推理的综合化、模块化，对学生综合能力的要求相对较高.所以新加坡教材对于习题的处理方面值得中国教材借鉴.

其次，在背景因素水平方面，新加坡教材完全是单一的数值符号运算，没有一道题目有实际背景；同属亚洲的人教社教材和新加坡教材在习题背景的设计上有着相同之处，大部分题目都是直接的推理计算，没有给出题目的实际生活背景.所以我们在教材习题的设计过程中，要更加注重教材和现实生活的联系，让学生感受到知识来源于生活，同时服务于生活，让学生学习有用的知识.

最后，同属亚洲的人教社教材和新加坡教材在“运算”“推理”方面有共同之处，更加强调学生解决问题的综合能力，更加注重学生的运算推理能力；但是新加坡教材则注重问题的引导及问题的生活化，每道题目起点都比较低，学生利用简单的计算和推理就能解决，对于复杂的题目也是以同样的处理方式，新加坡教材的大部分题目也是起点比较低，易于学生尝试去解决，值得中国初中数学教材的编写借鉴.

参考文献：

1.课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准试验教课书·数学·七年级（下册）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

2.New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal（Academic）［M］.Singapore：Marshall Cavendishi Education，2007.

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7.孙露.初中数学形成性测试卷与课程标准的一致性分析——以“图形与几何”领域为例［D］.黄山：黄山学院，2012.

8.张婷.高中数列不同版本教科书内容的比较研究［D］.长春：东北师范大学，2009.

9.贾随军，吕世虎，李保臻.中国与美国初中数学教材习题的个案比较——以“与三角形有关的角”为例［J］.数学通报，2014，53（9）.Z

*本文是重庆市渝中区教育科学“十二五”规划2013年度重点课题“人教版初高中数学课标教材中旁白的研究”（课题批准号：2013-001，课题负责人：黄益全）的研究成果.